Πώς αποδεικνύετε (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2);

Θα χρειαστούμε αυτές τις δύο ταυτότητες για να συμπληρώσουμε την απόδειξη:

# tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Θα ξεκινήσω από τη δεξιά πλευρά και στη συνέχεια θα το χειριστώ μέχρι να μοιάζει με την αριστερή πλευρά:

# RHS = cos ^ 2 (χ / 2) #

#color (λευκό) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (λευκό) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)

#color (λευκό) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#color (λευκό) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (κόκκινο) (* sinx / sinx) #

#color (λευκό) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#color (λευκό) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) χρώμα (κόκκινο) (* / cosx) / (1 / cosx)

#color (λευκό) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#color (λευκό) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx) #

#color (λευκό) (RHS) = LHS #

Αυτή είναι η απόδειξη. Ελπίδα αυτό βοήθησε!

Προσπαθούμε να αποδείξουμε την ταυτότητα:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Εξετάστε το LHS της έκφρασης και χρησιμοποιήστε τον ορισμό της εφαπτομένης:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

(sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

(cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) # #

cos / cosx / sinx * sinx / cosx / cosx / sinx * sinx) / 2 #

# (1 + cosx) / 2 #

Τώρα, σκεφτείτε το RHS και χρησιμοποιήστε την ταυτότητα:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Δίνοντας μας:

= cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx = 2cos ^

#:. cos ^ 2 (χ / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Ετσι:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) QED

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (ακύρωση (tanx) (1 + sinx / tanx)) /

1 = cosx) / 2 = (2cos2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #