Πώς αποδεικνύετε: secx - cosx = sinx tanx;

Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς του # secx # και # tanx #, μαζί με την ταυτότητα

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, έχουμε

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Απάντηση:

Πρώτα μετατρέψτε όλους τους όρους σε # sinx # και # cosx #.

Δεύτερον, εφαρμόστε κανόνες αθροίσματος κλάσματος στο LHS.

Τέλος εφαρμόζουμε την ταυτότητα του Πυθαγορείου: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Εξήγηση:

Πρώτα σε ερωτήσεις αυτών των μορφών είναι καλή ιδέα να μετατρέψουμε όλους τους όρους σε ημίτονο και συνημίτονο: οπότε αντικαταστήστε #tan x # με #sin x / cos x #

και αντικαταστήστε #sec x # με # 1 / cos x #.

Το LHS, #sec x- cos x # γίνεται # 1 / cos x- cos x #.

Το RHS, # sin x tan x # γίνεται #sin το x sin x / cos x # ή # sin ^ 2 x / cos x #.

Τώρα εφαρμόζουμε κανόνες αθροίσματος κλάσματος στο LHS, κάνοντας μια κοινή βάση (ακριβώς όπως το κλάσμα των αριθμών όπως #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =1 = cos x cos = 2 x cos cos x cos cos =.

Τέλος εφαρμόζουμε την ταυτότητα του Πυθαγορείου: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (μία από τις πιο χρήσιμες ταυτότητες για αυτούς τους τύπους προβλημάτων).

Με την αναδιάταξη του παίρνουμε # 1 cos ^ 2 χ = sin ^ 2 χ #.

Αντικαταστήσουμε το # 1 - cos ^ 2 x # στο LHS με # sin ^ 2 x #.

LHS = = {Cos ^ = x} / cos x # η οποία είναι ίση με την τροποποιημένη RHS.

Έτσι LHS = RHS Q.E.D.

Σημειώστε ότι αυτό το γενικό πρότυπο του να πάρουμε τα πράγματα σε όρους του ημιτονοειδούς και του συνημίτου, χρησιμοποιώντας τους κανόνες κλάσματος και την ταυτότητα του Πυθαγορείου, συχνά λύει αυτούς τους τύπους ερωτήσεων.

Εάν το επιθυμούμε, μπορούμε επίσης να τροποποιήσουμε τη δεξιά πλευρά για να ταιριάξουμε την αριστερή πλευρά.

Πρέπει να γράψουμε # sinxtanx # από την άποψη του # sinx # και # cosx #, χρησιμοποιώντας την ταυτότητα #color (κόκκινο) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Τώρα, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα του Πυθαγορείου, δηλαδή # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Μπορούμε να το τροποποιήσουμε για να το λύσουμε # sin ^ 2x #, Έτσι: #color (κόκκινο) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Τώρα, απλά χωρίστε τον αριθμητή:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Χρησιμοποιήστε την αμοιβαία ταυτότητα #color (κόκκινο) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Απάντηση:

Είναι πραγματικά τόσο απλό …

Εξήγηση:

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα # tanx = sinx / cosx #, πολλαπλασιάστε το # sinx # στην ταυτότητα για να πάρετε:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε # cosx # μέσω της εξίσωσης για απόδοση:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι # secx # είναι το αντίστροφο # cosx #.

Τέλος, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, η τελική απάντηση θα ήταν:

# sin ^ 2x = sin ^ 2x #