Ποια είναι η περίοδος f (t) = sin (t / 36) + cos ((t) / 42);

Απάντηση:

#T = 504pi #

Εξήγηση:

Πρώτα από όλα, το ξέρουμε αυτό #sin (x) # και #cos (x) # να έχει μια περίοδο # 2pi #.

Από αυτό, μπορούμε να το αφαιρέσουμε #sin (χ / κ) # έχει μια περίοδο # k * 2pi #: μπορείτε να το σκεφτείτε αυτό # x / k # είναι μια μεταβλητή που τρέχει στο # 1 / k # η ταχύτητα του #Χ#. Έτσι, για παράδειγμα, # x / 2 # τρέχει με τη μισή ταχύτητα του #Χ#, και θα χρειαστεί # 4pi # να έχει μια περίοδο, αντί για # 2pi #.

Στην περίπτωσή σου, #sin (t / 36) # θα έχει μια περίοδο # 72pi #, και #cos (t / 42) # θα έχει μια περίοδο # 84pi #.

Η παγκόσμια λειτουργία σας είναι το άθροισμα δύο περιοδικών λειτουργιών. Εξ ορισμού, # f (x) # είναι περιοδική με περίοδο # T # αν # T # είναι ο μικρότερος αριθμός έτσι

# f (x + T) = f (x) #

και στην περίπτωσή σας, αυτό μεταφράζεται σε

(t / 42 + T) = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

Από εδώ, μπορείτε να δείτε ότι η περίοδος του # f (x) # δεν μπορεί να είναι # 72pi # ούτε # 84pi #, επειδή μόνο ένας από τους δύο όρους θα κάνει μια ολόκληρη στροφή, ενώ ο άλλος θα πάρει διαφορετική αξία. Και δεδομένου ότι χρειαζόμαστε και τα δυο όροι για να κάνουμε μια ολόκληρη σειρά, πρέπει να πάρουμε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο μεταξύ των δύο περιόδων:

#lcm (72pi, 84pi) = 504pi #

Απάντηση:

# 1512pi #.

Εξήγηση:

Το λιγότερο θετικό P (αν υπάρχει) τέτοιο ώστε f (t + P) = f (t) είναι κατάλληλα

που ονομάζεται περίοδος f (t). Για αυτό το P, f (t + nP) = f (t), η = + - 1, + -2, + -3, … #.

Για #sin t και cos t, P = 2pi. #

Για #sin kt και cos kt, P = 2 / kpi. #

Εδώ, η περίοδος για #sin (t / 36) # είναι pi / 18 # και, Για #cos (t / 42) #, είναι # pi / 21 #.

Για την δεδομένη σύνθετη ταλάντωση f (t), η περίοδος P πρέπει να είναι

έτσι ώστε να είναι και η περίοδος για τους ξεχωριστούς όρους.

Αυτό το P δίνεται από # P = M (pi / 18) = N (pi / 21). Για Μ = 42 και Ν = 36, # Ρ = 1512 pi #

Τώρα, δείτε πώς λειτουργεί.

# f (t + 1512pi) #

# = αμαρτία (t / 36 + 42pi) + cos (t / 42 + 36pi) #

# = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

# = f (t).

Εάν το μισό P σε 761 και αυτό είναι περίεργο. Έτσι, P = 1512 είναι το λιγότερο δυνατό

ακόμη και πολλαπλάσιο του #πι#.