Τι είναι το ολοκλήρωμα του e ^ (x ^ 3);

Δεν μπορείτε να εκφράσετε αυτό το ενιαίο σύνολο ως προς τις στοιχειώδεις λειτουργίες.

Ανάλογα με το τι χρειάζεστε για την ενσωμάτωση, μπορείτε να επιλέξετε έναν τρόπο ενσωμάτωσης ή άλλο.

Ενσωμάτωση μέσω σειράς ισχύος

Θυμηθείτε αυτό # e ^ x # είναι αναλυτικό #mathbb {R} #, Έτσι #forall x στο mathbb {R} # η ακόλουθη ισότητα ισχύει

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

και αυτό σημαίνει ότι

{e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / } / {n!} #

Τώρα μπορείτε να ενσωματώσετε:

(d) = dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n! (3n + 1)} / {(3n + 1) n!} #

Ενσωμάτωση μέσω της λειτουργίας ατελούς γαμματισμού

Πρώτον, αντικαταστήστε # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Η λειτουργία # e ^ {x ^ 3} # είναι συνεχής. Αυτό σημαίνει ότι οι πρωτόγονες λειτουργίες του είναι # F: mathbb {R} σε mathbb {R} # έτσι ώστε

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

και αυτό είναι καλά καθορισμένο επειδή η λειτουργία #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # είναι τέτοια ώστε για # t σε 0 # κρατάει # f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, έτσι ώστε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα # int_0 ^ s f (t) dt # είναι πεπερασμένο (καλώ # s = -y ^ 3 #).

Έτσι το έχετε

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Παρατηρήστε αυτό # t ^ {- 2/3} <1 hArr> 1 #. Αυτό σημαίνει ότι για #t to + infty # το παίρνουμε (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^, έτσι ώστε # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt |. Έτσι, μετά από ακατάλληλο ολοκλήρωμα του # f (t) # είναι πεπερασμένο:

(1/3) dt = Gamma (1/3) # (1).

Μπορούμε να γράψουμε:

(t) dt (dt) dt (dt) dt (dt) dt =

αυτό είναι

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {infty}.

Στο τέλος φτάνουμε

(1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #