Απάντηση:
ένα)# x = 2 #
β) βλέπε παρακάτω
Εξήγηση:
α) Δεδομένου ότι οι τρεις πρώτοι όροι είναι #sqrt x-1 #, 1 και #sqrt x + 1 #, ο μεσοπρόθεσμος όρος, 1, πρέπει να είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των άλλων δύο. Ως εκ τούτου
# 1 ^ 2 = (sqrt x-1) (sqrt x +1) συνεπάγεται #
# 1 = x-1 υποδηλώνει x = 2 #
σι)
Ο κοινός λόγος είναι τότε #sqrt 2 + 1 #, και ο πρώτος όρος είναι #sqrt 2-1 #.
Έτσι, ο πέμπτος όρος είναι
# (sqrt 2-1) φορές (sqrt 2 + 1) ^ 4 = (sqrt 2 + 1) ^ 3 #
#qquad = (sqrt 2) ^ 3 + 3 (sqrt2) ^ 2 + 3 (sqrt2) + 1 #
# qquad = 2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1 #
# qquad = 7 + 5sqrt2 #
Απάντηση:
Παρακαλούμε δείτε παρακάτω.
Εξήγηση:
Δεδομένου ότι, # rarrsqrtx-1,1, sqrtx + 1 # είναι μέσα # GP #.
Ετσι, # rarr (sqrtx-1) / 1 = 1 / (sqrtx + 1) #
# rarr (sqrtx-1) ^ 2 = 1 #
# rarr (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2 = 1 #
# rarrx = 2 #
Ο πρώτος όρος # (α) = sqrtx-1 = sqrt2-1 #
Ο δεύτερος όρος # (β) = 1 #
Η κοινή αναλογία # (r) = β / α = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #
ο # n ^ (th) # όρο γεωμετρικής ακολουθίας # (t_n) = a * r ^ (n-1) #
Ετσι, # t_5 = (sqrt2-1) * (sqrt2 + 1) ^ (5-1) #
# = (sqrt2-1) (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) ^ 3 #
# = (sqrt2) ^ 2-1 ^ 2 (sqrt2) ^ 3 + 3 * (sqrt2 ^ 2) * 1 + 3 * sqrt2 * 1 ^ 2 + 1 ^ 3 #
# = (2-1) (2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1) = 7 + 5sqrt2 #
Απάντηση:
# x = 2 και 5 ^ (th) "όρος" = 7 + 5sqrt2 #.
Εξήγηση:
Για όποιος #3# διαδοχικούς όρους #αλφάβητο# του α GP, έχουμε, # b ^ 2 = ac #.
Ως εκ τούτου, στην περίπτωσή μας, # 1 ^ 2 = (sqrtx-1) (sqrtx + 1) = (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2, #
# δηλ., 1 = χ-1, ή, χ = 2 #.
Με # x = 2 #, ο # 1 ^ (st) και 2 ^ (nd) # όρους του GP κάτω από
αναφέρονται, # sqrtx-1 = sqrt2-1 και 1 #, resp.
Ετσι το κοινή αναλογία # r = (2 ^ (nd) "όρος)" -: (1 ^ (st) "όρος)" #, # = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #.
#:. 4 ^ (th) "όρος = r (" 3 ^ (rd) "όρος) = (sqrt2 + 1), # = (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) #, # = 2 + 2sqrt2 + 1 #, # = 3 + 2sqrt2 #.
Περαιτέρω, # (5 ^ (th) "όρος) = r (" 4 ^ (th) όρος) #, # = (sqrt2 + 1) (3 + 2sqrt2) #,
# = 3sqrt2 + 3 + 2sqrt2 * sqrt2 + 2sqrt2 #.
# rArr 5 ^ (th) "όρος" = 7 + 5sqrt2 #.
