Ένα σώμα βρέθηκε στις 10 π.μ. σε μια αποθήκη όπου η θερμοκρασία ήταν 40 ° F. Ο ιατρικός εξεταστής διαπίστωσε ότι η θερμοκρασία του σώματος είναι 80 ° F. Ποιος ήταν ο κατά προσέγγιση χρόνος του θανάτου;

Απάντηση:

Περίπου ο χρόνος θανάτου είναι #8:02:24# είμαι.

Σημαντικό να σημειωθεί ότι αυτή είναι η θερμοκρασία του δέρματος του σώματος. Ο ιατρικός εξεταστής θα μέτρησε την εσωτερική θερμοκρασία, η οποία θα μειωνόταν πολύ πιο αργά.

Εξήγηση:

Ο νόμος ψύξης του Newton δηλώνει ότι ο ρυθμός αλλαγής της θερμοκρασίας είναι ανάλογος της διαφοράς με τη θερμοκρασία περιβάλλοντος. Δηλαδή

# (dT) / (dt) prop T-0_ #

Αν # T> T_0 # τότε το σώμα θα πρέπει να κρυώσει, ώστε το παράγωγο να είναι αρνητικό, επομένως εισάγουμε την αναλογικότητα σταθερή και φθάνουμε

# (dT) / (dt) = -k (Τ-Τ_0) #

Με τον πολλαπλασιασμό του βραχίονα και την αλλαγή των στοιχείων για μας παίρνει:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Μπορεί πλέον να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο του παράγοντα ενσωμάτωσης για την επίλυση των ODE.

# 1 (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές #I (x) # να πάρω

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Παρατηρήστε ότι χρησιμοποιώντας τον κανόνα του προϊόντος μπορούμε να ξαναγράψουμε το LHS αφήνοντας:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Ενσωματώστε και τις δύο πλευρές # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Διαίρεση από # e ^ (kt) #

# T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Η μέση θερμοκρασία του ανθρώπινου σώματος είναι # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

Αφήνω # t_f # είναι ο χρόνος με τον οποίο βρίσκεται το σώμα.

# Τ (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

# n (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1,96 ώρες #

Έτσι, από την εποχή του θανάτου, αν υποτεθεί ότι το σώμα αμέσως άρχισε να κρυώνει, χρειάστηκε 1,96 ώρες για να φτάσει στους 80 ° F και στο σημείο αυτό βρέθηκε.

# 1.96hr = 117.6 λεπτά #

Περίπου ο χρόνος θανάτου είναι #8:02:24# είμαι