Τι είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Απάντηση:

Η Γενική Λύση είναι:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Εξήγηση:

Εχουμε:

# dy / dt = e ^ t (γ-1) ^ 2 #

Μπορούμε να συλλέξουμε όρους για παρόμοιες μεταβλητές:

# 1 / (γ-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Ποια είναι μια διαχωρίσιμη Τακτική Τάξη μη γραμμική Διαφορική Εξίσωση, έτσι μπορούμε "διαχωρισμός των μεταβλητών" να πάρω:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Και τα δύο ολοκληρώματα είναι αυτά των τυπικών λειτουργιών, έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη γνώση για να ενσωματώσουμε άμεσα:

# -1 / (γ-1) = e ^ t + C #

Και μπορούμε να αναδιατάξουμε εύκολα # y #:

# - (γ-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Οδηγώντας στη Γενική Λύση:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Απάντηση:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Εξήγηση:

Αυτή είναι μια διαχωρίσιμη διαφορική εξίσωση, που σημαίνει ότι μπορεί να γραφτεί με τη μορφή:

# dy / dx * f (γ) = g (x) #

Μπορεί να λυθεί με την ενσωμάτωση και των δύο πλευρών:

#int f (γ) dy = int g (x) dx #

Στην περίπτωσή μας, πρέπει πρώτα να διαχωρίσουμε το ολοκληρωμένο στη σωστή μορφή. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό διαιρώντας και τις δύο πλευρές # (γ-1) ^ 2 #:

(y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) # dy / dt * 1 / (y-1)

# dy / dt * 1 / (γ-1) ^ 2 = e ^ t #

Τώρα μπορούμε να ενσωματώσουμε και τις δύο πλευρές:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (γ-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Μπορούμε να λύσουμε το αριστερό χέρι με αναπληρωματικό # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (-1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Η επανατοποθέτηση (και ο συνδυασμός σταθερών) δίνει:

# -1 / (γ-1) = e ^ t + C_3 #

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (γ-1) #

Διαχωρίστε τις δύο πλευρές από # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = γ-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #