Ποια είναι η μέση τιμή της συνάρτησης f (x) = cos (x / 2) στο διάστημα [-4,0];

Απάντηση:

# 1 / 2sin (2) #, κατά προσέγγιση #0.4546487#

Εξήγηση:

Η μέση τιμή #ντο# μιας συνάρτησης #φά# στο διάστημα # α, β # δίνεται από:

# c = 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx #

Εδώ, αυτό μεταφράζεται στη μέση τιμή:

# c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

Ας χρησιμοποιήσουμε την αντικατάσταση # u = x / 2 #. Αυτό σημαίνει ότι # du = 1 / 2dx #. Στη συνέχεια, μπορούμε να ξαναγράψουμε το ολοκλήρωμα ως εξής:

# c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) #

Χωρίζουμε #1/4# σε #1/2*1/2# επιτρέπει για # 1 / 2dx # για να υπάρχει στο ενιαίο, ώστε να μπορούμε εύκολα να κάνουμε την αντικατάσταση # 1 / 2dx = du #. Πρέπει επίσης να αλλάξουμε τα όρια στα όρια # u #, δεν #Χ#. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε το ρεύμα #Χ# και συνδέστε τα # u = x / 2 #.

# c = 1 / 2int _ (- 2) ^ 0cos (u) du #

Αυτό είναι ένα κοινό ενιαίο (σημειώστε ότι # d / dxsin (x) = cos (x) #):

# c = 1/2 sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

Αξιολογώντας:

# c = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# c = -1 / 2sin (-2) #

Σημειώστε ότι #sin (-x) = - αμαρτία (x) #:

# c = 1 / 2sin (2) #

#c περίπου0.4546487 #