Τι είναι ο μεγαλύτερος κύλινδρος ακτίνας, r και ύψος h που μπορεί να χωρέσει σε σφαίρα ακτίνας, R;

Απάντηση:

Η μέγιστη ένταση του κυλίνδρου βρίσκεται αν το επιλέξουμε

# r = sqrt (2/3) R #, και # h = (2R) / sqrt (3) #

Η επιλογή αυτή οδηγεί σε μέγιστο όγκο κυλίνδρου:

# V = (4piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Εξήγηση:

``

Φανταστείτε μια διατομή μέσω του κέντρου του κυλίνδρου και αφήστε τον κύλινδρο να έχει ύψος # h #, και την ένταση # V #, τότε έχουμε?

# h # και # r # μπορεί να ποικίλει και # R # είναι μια σταθερά. Ο όγκος του κυλίνδρου δίδεται από τον πρότυπο τύπο:

# V = pir ^ 2h #

Η ακτίνα της σφαίρας, # R # είναι η υποτείνουσα του τρίγωνου με πλευρές # r # και # 1 / 2h #, οπότε χρησιμοποιώντας τον Pythagoras, έχουμε:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε αυτό στην εξίσωση όγκου μας για να πάρουμε:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Έχουμε τώρα την ένταση, # V # ως συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής # h #, την οποία επιδιώκουμε να μεγιστοποιήσουμε το wrt # h # έτσι διαφοροποιώντας wrt # h # δίνει:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Σε ελάχιστο ή μέγιστο, # (dV) / (dh) = 0 # Έτσι:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (προφανώς θέλουμε te + ve root)

#:. h = (2R) / sqrt (3)

Με αυτήν την τιμή # h # παίρνουμε:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Πρέπει να ελέγξουμε ότι αυτή η τιμή οδηγεί σε έναν μέγιστο (αντί για μέγιστο) όγκο. Κάνουμε αυτό εξετάζοντας το δεύτερο παράγωγο:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

Και ως # h> 0 # καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # και ότι το κρίσιμο σημείο που προσδιορίζεται οδηγεί στο μέγιστο όπως επιδιώκεται.

Ως εκ τούτου, ο μέγιστος όγκος του κυλίνδρου βρίσκεται εάν επιλέξουμε

# r = sqrt (2/3) R #, και # h = (2R) / sqrt (3) #

Με αυτήν την επιλογή έχουμε τη μέγιστη ένταση ως?

(2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^

#:. V = (2piR ^ 3) / sqrt (3) -1 / 4pi ((8R) 3) / (3sqrt (3)

#:. V = (2piR ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)

#:. V = (4piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Και προφανώς ο όγκος της σφαίρας δίνεται από:

# V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Αυτό είναι ένα πολύ διάσημο πρόβλημα, το οποίο μελετήθηκε από τους Έλληνες μαθηματικούς πριν από την ανακάλυψη του Λογισμού. Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα είναι η αναλογία του όγκου του κυλίνδρου προς τον όγκο της σφαίρας:

# V / V_s = ((4piR ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt

Με άλλα λόγια ο λόγος των όγκων είναι τελείως ανεξάρτητος # R #, # r # ή # h # που είναι ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα!