Τι είναι το ολοκλήρωμα του sqrt (9-x ^ 2);

Κάθε φορά που βλέπω αυτές τις λειτουργίες, αναγνωρίζω (ασκώντας πολλά) ότι πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια ειδική υποκατάσταση εδώ:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

# x = 3sin (u) #

Αυτό μπορεί να μοιάζει με μια περίεργη υποκατάσταση, αλλά θα δούμε γιατί το κάνουμε αυτό.

# dx = 3cos (u) du #

Αντικαταστήστε το allhting στο ολοκλήρωμα:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Μπορούμε να φέρουμε τα 3 από το ενιαίο:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Μπορείτε να υπολογίσετε το 9:

(3) (1) () () () ()

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Γνωρίζουμε την ταυτότητα: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Αν λύνουμε για # cosx #, παίρνουμε:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Αυτό ακριβώς βλέπουμε στο ολοκληρωμένο, ώστε να το αντικαταστήσουμε:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Ίσως να γνωρίζετε αυτό το ένα ως βασικό αντισυμβατικό, αλλά εάν δεν το κάνετε, μπορείτε να το καταλάβετε έτσι:

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (μπορείτε να το κάνετε αυτό με αντικατάσταση)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Τώρα, το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να το βάλετε # u # στη λειτουργία. Ας δούμε πίσω πώς το ορίσαμε:

# x = 3sin (u) #

# x / 3 = αμαρτία (u) #

Να πάρω # u # από αυτό, πρέπει να πάρετε την αντίστροφη λειτουργία του #αμαρτία# και στις δύο πλευρές, αυτό είναι # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Τώρα πρέπει να το εισαγάγουμε στη λύση μας:

# 9/2 arcsin (χ / 3) + 9/4 της αμαρτίας (2arcsin (χ / 3)) + C #

Αυτή είναι η τελική λύση.