Πώς μπορώ να λύσω 2sinx = cos (x / 3);

Απάντηση:

Οι κατά προσέγγιση λύσεις μας είναι:

# x = {163.058 ^ κύκλος, 703.058 ^ κύκλος, 29.5149 ^ cirr, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, ή -732.573 ^ circ} + 1080 ^ cirk quad #

για ακέραιο αριθμό #κ#.

Εξήγηση:

# 2 απειλή x = cos (x / 3) #

Αυτό είναι ένα πολύ δύσκολο.

Ας αρχίσουμε με τη ρύθμιση # γ = x / 3 # Έτσι # x = 3y # και την υποκατάσταση. Στη συνέχεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο τριπλής γωνίας:

# 2 αμαρτία (3y) = cos y #

# 2 (3 sin sin - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Ας τετράγωνα έτσι γράφουμε τα πάντα από άποψη # sin ^ 2 y #. Αυτό πιθανόν να εισάγει ξένες ρίζες.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Αφήνω # s = sin ^ 2 y #. Ονομάζονται τετράγωνα sines τα spreads στην ορθολογική τριγωνομετρία.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Αυτή είναι μια κυβική εξίσωση με τρεις πραγματικές ρίζες, υποψήφιες για τα τετραγωνικά άκρα του # 3x. # Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον κυβικό τύπο, αλλά αυτό θα οδηγήσει απλώς σε μερικές ρίζες κύβων σύνθετων αριθμών που δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι. Ας πάρουμε μόνο μια αριθμητική λύση:

# s 0.66035 ή s 0.029196 ή s 0.81045 #

# x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Ας εργαστούμε σε βαθμούς. Οι πιθανές προσεγγίσεις μας είναι:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) περίπου pm 163.058 ^ circ ή pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) περίπου pm 29.5149 ^ circ ή pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) περίπου pm 192.573 ^ circ ή pm 732.573 ^ circ #

Ας δούμε αν κάποιο από αυτά τα έργα. Αφήνω # e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ κυκλο) περίπου 0.00001 quad # αυτή είναι μια λύση.

#e (-163.058 ^ κυκλο) περίπου -1.17 quad # δεν αποτελεί λύση.

Σαφώς το πολύ ένα από ένα #μετα μεσημβριας# ζεύγος θα λειτουργήσει.

Δέκα ακόμα για να πάει.

#e (703.058 ^ circ) περίπου 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ κυκλο) quad # Όχι

#e (29.5149 ^ circ) περίπου 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # Όχι

#e (569,51 ^ κύκλος) περίπου 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569,51 ^ κυκλο) quad # Όχι

#e (192.573 ^ κύκλος) περίπου -87 quad # Όχι

#e (-192.573 ^ circa) περίπου 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ κυκλο) περίπου -87 quad # Όχι

#e (-732.573 ^ circ) περίπου 0.00001 quad sqrt #

Το arcsin έρχεται με a # + 360 ^ circ k #, και ο παράγοντας των τριών το κάνει # 1080 ^ circ k. #

Εντάξει, οι κατά προσέγγιση λύσεις μας είναι:

# x = {163.058 ^ κύκλος, 703.058 ^ κύκλος, 29.5149 ^ κύκλος, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} +1080 ^ cirk quad # για ακέραιο αριθμό #κ#.