Πώς χρησιμοποιείται η πρώτη δοκιμασία παράγωγου για τον προσδιορισμό των τοπικών ακραίων τιμών y = sin x cos x;

Απάντηση:

Τα άκρα για # y = sin (x) cos (x) # είναι

# x = pi / 4 + npi / 2 #

με # n # ένα σχετικό ακέραιο αριθμό

Εξήγηση:

Είναι # f (x) # η συνάρτηση που αντιπροσωπεύει τη μεταβολή του # y # με την επανάληψη στο #Χ#.

Είναι # f '(x) # το παράγωγο του # f (x) #.

#φά)# είναι η κλίση του # f (x) # καμπύλη στο # x = a # σημείο.

Όταν η κλίση είναι θετική, η καμπύλη αυξάνεται.

Όταν η κλίση είναι αρνητική, η καμπύλη μειώνεται.

Όταν η κλίση είναι μηδενική, η καμπύλη παραμένει στην ίδια τιμή.

Όταν η καμπύλη φθάσει σε ένα άκρο, θα σταματήσει να αυξάνεται / μειώνεται και να αρχίζει να μειώνεται / αυξάνεται. Με άλλα λόγια, η κλίση θα πάει από θετική σε αρνητική - ή αρνητική σε θετική - περνώντας από τη μηδενική τιμή.

Επομένως, εάν αναζητάτε ακρότητες μιας συνάρτησης, θα πρέπει να αναζητήσετε τις μηδενικές αξίες του παραγώγου του.

Ν.Β. Υπάρχει μια κατάσταση κατά την οποία το παράγωγο είναι μηδενικό, αλλά η καμπύλη δεν φθάνει στο άκρο: ονομάζεται σημείο καμπής. η καμπύλη θα σταματήσει στιγμιαία να αυξάνεται / μειώνεται και στη συνέχεια να συνεχίζεται η αύξηση / μείωση της. Επομένως, πρέπει επίσης να ελέγξετε αν η πινακίδα της κλίσης αλλάζει γύρω από την τιμή μηδενός.

Παράδειγμα: (x) = sin (x) cos (x) = y #

(x) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

= x cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2

Τώρα που έχουμε τον τύπο για # f '(x) #, θα αναζητήσουμε τις αξίες του null:

(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^

Οι λύσεις είναι # pi / 4 + npi / 2 # με # n # ένα σχετικό ακέραιο αριθμό.

Απάντηση:

Ακόμα κι αν σκοπεύουμε να χρησιμοποιήσουμε το πρώτο παράγωγο τεστ, αξίζει να το παρατηρήσουμε # y = 1/2 αμαρτία (2x) #.

Εξήγηση:

Έχοντας κάνει αυτή την παρατήρηση, δεν χρειαζόμαστε πραγματικά λογισμό για να βρούμε τα άκρα.

Μπορούμε να βασιστούμε στις γνώσεις μας για την τριγωνομετρία και τα γραφήματα των ημιτονοειδών λειτουργιών

Η μέγιστη τιμή (1/2) θα εμφανιστεί όταν # 2x = pi / 2 + 2pik # ή πότε # x = pi / 4 + pik # Για #κ# έναν ακέραιο αριθμό.

Το ελάχιστο εμφανίζεται στο # x = 3pi / 4 + pik # Για #κ# έναν ακέραιο αριθμό.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το παράγωγο, αλλά δεν το χρειαζόμαστε πραγματικά.

Χρησιμοποιώντας το Παράγωγο

Αφού ξαναγράψατε # y #, μπορούμε να το δούμε γρήγορα # y '= cos (2x) #

Έτσι οι κρίσιμοι αριθμοί για # y # είναι # 2x = pi / 2 + 2pik # και # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (όταν το συνημίτονο είναι #0#) ή

# x = pi / 4 + pik # και # x = (3pi) / 4 + pik #

Έλεγχος του σημείου του # y '= cos (2x) #, θα βρούμε τις μέγιστες τιμές στο πρώτο σύνολο των κρίσιμων αριθμών και τις ελάχιστες τιμές στο δεύτερο.