Πώς να επεκταθεί σε Maclaurin σειρά αυτό; f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Απάντηση:

(x) = x (x) = x (x) x (x) = (x) +1) ^ 2 #

Visual: Ανατρέξτε σε αυτό το γράφημα

Εξήγηση:

Είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να αξιολογήσουμε αυτό το ενιαίο δεδομένου ότι χρησιμοποιεί οποιαδήποτε από τις συνήθεις τεχνικές ενσωμάτωσης που έχουμε μάθει. Ωστόσο, δεδομένου ότι είναι ένα οριστικό ολοκλήρωμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια σειρά MacLaurin και να κάνουμε ό, τι ονομάζεται όρος με την ολοκλήρωση των όρων.

Πρέπει να βρούμε τη σειρά MacLaurin. Δεδομένου ότι δεν θέλουμε να βρούμε το n-th παράγωγο αυτής της λειτουργίας, θα πρέπει να προσπαθήσουμε να την τοποθετήσουμε σε μία από τις σειρές MacLaurin που ήδη γνωρίζουμε.

Πρώτον, δεν μας αρέσει #κούτσουρο#. θέλουμε να το κάνουμε αυτό # ln #. Για να γίνει αυτό, μπορούμε απλά να χρησιμοποιήσουμε την αλλαγή του τύπου βάσης:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Έτσι έχουμε:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Γιατί το κάνουμε αυτό; Λοιπόν, τώρα παρατηρήστε αυτό # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Γιατί είναι τόσο ξεχωριστό; Καλά, # 1 / (1-χ) # είναι μια από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες σειρές MacLaurin:

(1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0)

…για όλα #Χ# επί #(-1, 1#

Έτσι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη σχέση προς όφελός μας και να την αντικαταστήσουμε # n (1-t) # με # int-1 / (1-t) dt #, πράγμα που μας επιτρέπει να το αντικαταστήσουμε # ln # με μια σειρά MacLaurin. Κάνοντας αυτό μαζί δίνει:

# 1 (t-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^

Αξιολόγηση του ολοκλήρου:

= 1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3 / t + # #

Ακύρωση του # t # στο όνομά του:

= 1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^

Και τώρα, παίρνουμε το οριστικό ολοκληρωμένο ξεκινήσαμε το πρόβλημα με:

(n + 1) / int = 0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ dt #

Σημείωση: Παρατηρήστε πώς τώρα δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για το διαχωρισμό με μηδέν σε αυτό το πρόβλημα, το οποίο είναι ένα ζήτημα που θα είχαμε στην αρχική ενσωμάτωση λόγω της # t # με τον παρονομαστή. Δεδομένου ότι αυτό ακυρώθηκε στο προηγούμενο βήμα, δείχνει ότι η ασυνέχεια είναι αφαιρούμενη, η οποία λειτουργεί καλά για εμάς.

1 = (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + 2 # αξιολογήθηκε από #0# προς το #Χ#

(1 + 1) / (n + 1) / x + 2 ^ 2 - 0 #

(1 + 1) / (n + 1) / x + 2 ^ 2 #

Βεβαιωθείτε όμως ότι συνειδητοποιείτε ότι αυτή η σειρά είναι καλή μόνο στο διάστημα #(1, 1#, δεδομένου ότι η σειρά MacLaurin που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω είναι μόνο συγκλίνουσα σε αυτό το διάστημα. Ελέγξτε αυτό το γράφημα που έκανα για να πάρετε μια καλύτερη ιδέα για το πώς μοιάζει με αυτό.

Ελπίδα ότι βοήθησε:)