Ποιο είναι το διάστημα σύγκλισης του sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Και ποιο είναι το άθροισμα στο x = 3;

Απάντηση:

# - oo, -4 "U" 5, oo "είναι το διάστημα σύγκλισης για το x" #

# "x = 3 δεν βρίσκεται στο διάστημα σύγκλισης, οπότε το άθροισμα για το x = 3 είναι" oo #

Εξήγηση:

# "Αντιμετωπίστε το άθροισμα όπως θα ήταν μια γεωμετρική σειρά αντικαθιστώντας" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Τότε έχουμε" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "για το" | z " <1 #

# "Έτσι το διάστημα σύγκλισης είναι" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(χ + 1) / (χ-2) <2 #

(x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "Ή" # #

(x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "#

# "Θετική περίπτωση:" #

# => χ-2 <2χ + 2 <4 (χ-2) #

# => 0 <χ + 4 <3 (χ-2) #

# => -4 <χ <3χ-10 #

# => χ> -4 και χ> 5 #

# => x> 5 #

# "Αρνητική περίπτωση:" #

# -4> χ> 3χ-10 #

# => χ <-4 και χ <5 #

# => χ <-4 #

# "Δεύτερο μέρος:" x = 3 => z = 2> 1 => "το άθροισμα είναι"