Ποιο είναι το διάστημα σύγκλισης του sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n;

$Ποιο είναι το διάστημα σύγκλισης του sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n;$

Απάντηση:

# x σε (-ο, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Εξήγηση:

Μπορούμε να το κάνουμε αυτό (1 / (χ (1-χ))) ^ n # είναι μια γεωμετρική σειρά με αναλογία # r = 1 / (χ (1-χ)) #.

Τώρα γνωρίζουμε ότι οι γεωμετρικές σειρές συγκλίνουν όταν η απόλυτη τιμή του λόγου είναι μικρότερη από 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Πρέπει λοιπόν να λύσουμε αυτήν την ανισότητα:

# 1 / (x (1-x)) <1 και 1 / (x (1-x))> -1 #

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο:

(1-x)) / (x (1-x)) <0 αν είναι # 1 / (x (1-x)

# (1-χ + χ ^ 2) / (χ (1-χ)) <

Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι ο αριθμητής είναι πάντα θετικός και ότι ο παρονομαστής είναι μη δεσμευτικός στο διάστημα # x σε (-ο, 0) U (1, oo) #.

Αυτή είναι η λύση για την πρώτη μας ανισότητα.

Ας δούμε το δεύτερο:

(1-x)) / (x (1-x)) / (x (1-x) # #

Αυτή η ανισότητα έχει λύση το διάστημα:

# x σε (-ο, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Επομένως, η σειρά μας συγκλίνει όπου και τα δύο αυτά διαστήματα είναι αληθινά.

Έτσι το διάστημα σύγκλισης μας είναι:

# x σε (-ο, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Η πυκνότητα του πυρήνα ενός πλανήτη είναι rho_1 και εκείνη του εξωτερικού κελύφους είναι rho_2. Η ακτίνα του πυρήνα είναι R και αυτή του πλανήτη είναι 2R. Το βαρυτικό πεδίο στην εξωτερική επιφάνεια του πλανήτη είναι ίδιο με την επιφάνεια του πυρήνα ποια είναι η αναλογία rho / rho_2. ;

3 Υποθέστε ότι η μάζα του πυρήνα του πλανήτη είναι m και αυτή του εξωτερικού κελύφους είναι m 'Έτσι, το πεδίο στην επιφάνεια του πυρήνα είναι (Gm) / R ^ 2 Και στην επιφάνεια του κελύφους θα είναι (G (m + m)) / (2R) ^ 2 Δεδομένου ότι και τα δύο είναι ίσα, έτσι (Gm) / R ^ = = m 'ή m' = 3m Τώρα, m = 4/3 pi R ^ 3 rho_1 (μάζα = όγκος * πυκνότητα) και m '= 4/3 π ((2R) / 3 pi 7R ^ 3 rho_2 Συνεπώς, 3m = 3 (4/3 pi R ^ 3 rho_1) = m '= 4/3 pi 7R ^ 3 rho_2 Έτσι rho_1 = 7/3 rho_2 ή (rho_1) / rho_2 ) = 7/3

Ποιο είναι το διάστημα σύγκλισης του sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n;

Δες παρακάτω. Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα πολυωνύμου (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) (x-1) / (x-1) = 1 / (1-x) τότε για x ne k pi, k σε ZZ έχουμε sum_ (k = 0) (1-cos x)

Ποιο είναι το διάστημα σύγκλισης του sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Και ποιο είναι το άθροισμα στο x = 3;

] -o, -4 ["U"] 5, oo ["είναι το διάστημα σύγκλισης για το x" "x = 3 δεν είναι στο διάστημα σύγκλισης, έτσι το άθροισμα για το x = 3 είναι" oo " είναι μια γεωμετρική σειρά αντικαθιστώντας "z = log_2 ((x + 1) / (x-2) (x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) (X-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 αρνητικό) "Θετική περίπτωση:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <x + 4 < 4 και x> 5 => x> 5 "Αρνητική περίπτωση:" -4> x> 3x-10 => x <-4 και x <5 => x <-4 " = 2> 1 => "το άθροισμα είναι" oo