Η εξίσωση x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2 + 4x-1 = 0 έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες x_1, x_2, x_3, x_4 έτσι ώστε x_1

Απάντηση:

#-3#

Εξήγηση:

Επέκταση

# (x + x_1) (χ + χ_2) (χ + χ_3) (χ + χ_4) # και τη σύγκριση που έχουμε

(x_1x_2x_3x_4 = -1), (x_1 x_2x_3 + x_1x_2x_4_x_1x_3x_4_X_2_x3x_4 = 4), (χ_1 χ_2 + χ_1 χ_3 + χ_2 χ_3 + χ_1 χ_4 + χ_2 χ_4 + χ_3 χ_4 = -3), (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -2):} #

Αναλύοντας τώρα

# x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 + (x_2x_3 + x_1x_4) #

Επιλέγοντας # x_1x_4 = 1 # ακολουθεί # x_2x_3 = -1 # (βλέπε την πρώτη προϋπόθεση)

ως εκ τούτου

# x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 + (x_2x_3 + x_1x_4) = -3 # ή

# x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = -3- (x_2x_3 + x_1x_4) = - 3 #