Αν το 3x ^ 2-4x + 1 έχει μηδενικά άλφα και βήτα, τότε ποιο τετραγωνικό έχει μηδενικά άλφα ^ 2 / βήτα και βήτα ^ 2 /

Απάντηση:

Εύρημα #άλφα# και #βήτα# πρώτα.

Εξήγηση:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Οι παράγοντες της αριστερής πλευράς, έτσι ώστε να έχουμε

# (3x - 1) (χ - 1) = 0 #.

Χωρίς απώλεια της γενικότητας, οι ρίζες είναι #alpha = 1 # και #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # και #(1/3)^2/1= 1/9#.

Ένα πολυώνυμο με λογικούς συντελεστές που έχουν αυτές τις ρίζες είναι

# f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Εάν επιθυμούμε ακέραιους συντελεστές, πολλαπλασιάστε με 9 για να λάβετε:

(x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Μπορούμε να το πολλαπλασιάσουμε αν το επιθυμούμε:

# g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Γενικότερα, θα μπορούσαμε να γράψουμε

# f (x) = (χ - άλφα ^ 2 / βήτα) (x - beta ^ 2 / άλφα) #

# = x ^ 2 - ((άλφα ^ 3 + βήτα ^ 3) / (αλφάβητο)) χ + αλφάβητο #

Απάντηση:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Εξήγηση:

Σημειώστε ότι:

# (x-άλφα) (χ-βήτα) = χ ^ 2- (άλφα + βήτα) χ + άλφα βήτα #

και:

(άλφα ^ 2 / βήτα) (βήτα ^ 2 / βήτα + βήτα ^ 2 / άλφα) άλφα)#

(α-βήτα) (χ-βήτα ^ 2 / άλφα)) = χ ^ 2- (άλφα ^ 3 βήτα ^

(άλφα + βήτα) (α-βήτα) (alpha + beta) / (άλφα + β) beta) x + άλφα βήτα #

Στο παράδειγμά μας, διαιρώντας # 3x ^ 2-4x + 1 # με #3# έχουμε:

# {(άλφα + βήτα = 4/3), (άλφα βήτα = 1/3):} #

Ετσι:

# ((άλφα + βήτα) ^ 3-3αλφα βήτα (άλφα + βήτα)) / (άλφα βήτα) = () = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Έτσι, το επιθυμητό πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Πολλαπλασιάστε με #9# για να πάρουμε τους ακέραιους συντελεστές:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Απάντηση:

Προτεινόμενη λύση παρακάτω.

Εξήγηση:

# 3x2-4x + 1 #

Σημείωση: #ένα# είναι άλφα, #σι# είναι βήτα

# α + β = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Για να σχηματίσουμε μια εξίσωση βρίσκουμε το άθροισμα και τα προϊόντα των ριζών.

Για το άθροισμα

# (a2) / b + (b2) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab)

Αλλά; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) 3 -3ab (a + b) #

Επομένως;

# ((a + b) 3-3ab (a + b)) / (ab) #

Ως εκ τούτου αντικαθιστούμε τις τιμές..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (ακυρώστε3 / 1) #

#28/9#

Ως εκ τούτου, το ποσό είναι #28/9#

Για προϊόντα

# ((a2) / b) ((β2) / α) #

# ((ab) 2) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1 / 9χχ 3/1 #

# 1 / ακυρώστε9_3 xx ακυρώστε3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Ως εκ τούτου, το προϊόν είναι #1/3#

# x 2 - (a + b) x + ab #

# x2- (28/9) χ + 1/3 #

# 9x2-28x + 3 #

Πολλαπλασιασμός μέσω #9#

Ελπίζω ότι αυτό βοηθά!