Ο Άρης έχει μέση θερμοκρασία επιφάνειας περίπου 200K. Ο Πλούτωνας έχει μέση θερμοκρασία επιφάνειας περίπου 40K. Ποιος πλανήτης εκπέμπει περισσότερη ενέργεια ανά τετραγωνικό μέτρο επιφάνειας ανά δευτερόλεπτο; Με έναν παράγοντα πόσο;

Απάντηση:

Ο Άρης εκπέμπει #625# φορές περισσότερη ενέργεια ανά μονάδα επιφάνειας από ό, τι ο Πλούτωνας.

Εξήγηση:

Είναι προφανές ότι ένα θερμότερο αντικείμενο θα εκπέμπει περισσότερη ακτινοβολία μαύρου σώματος. Έτσι, γνωρίζουμε ήδη ότι ο Άρης θα εκπέμψει περισσότερη ενέργεια από τον Πλούτωνα. Το μόνο ερώτημα είναι πόσο.

Αυτό το πρόβλημα απαιτεί την αξιολόγηση της ενέργειας της ακτινοβολίας του μαύρου σώματος που εκπέμπεται και από τους δύο πλανήτες. Αυτή η ενέργεια περιγράφεται ως συνάρτηση της θερμοκρασίας και της συχνότητας που εκπέμπεται:

# E (nu, T) = (2pi ^ 2nu) / c (hnu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) -

Η ενσωμάτωση πάνω από τη συχνότητα δίνει τη συνολική ισχύ ανά μονάδα επιφάνειας ως συνάρτηση της θερμοκρασίας:

# int_0 ^ inftyE (nu, Τ) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3)

(σημειώστε ότι η παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιεί # barh #, τη σταθερή σχέση του Planck, παρά με τη σταθερή # h #. Είναι δύσκολο να διαβάσει κανείς στη σημείωση του Socratic)

Λύνοντας για την αναλογία μεταξύ των δύο, τότε, το αποτέλεσμα είναι απίστευτα απλό. Αν # T_p # είναι η θερμοκρασία του Πλούτωνα και # T_m # είναι η θερμοκρασία του Άρη, τότε ο παράγοντας #ένα# μπορεί να υπολογιστεί με:

(kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p)

(60 ^ (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / ακυρώστε (60 (barhc)

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # φορές περισσότερο

Ο όγκος ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό 20 κυβικά εκατοστά ανά δευτερόλεπτο. Πόσο γρήγορα, σε τετραγωνικά εκατοστά ανά δευτερόλεπτο, η επιφάνεια του κύβου αυξάνεται τη στιγμή που κάθε άκρη του κύβου έχει μήκος 10 εκατοστά;

Θεωρούμε ότι η άκρη του κύβου ποικίλει με το χρόνο, έτσι ώστε να είναι συνάρτηση του χρόνου l (t). Έτσι:

Ο Δίας είναι ο μεγαλύτερος πλανήτης στο ηλιακό σύστημα, με διάμετρο περίπου 9 x 10 ^ 4 μίλια. Ο υδράργυρος είναι ο μικρότερος πλανήτης στο ηλιακό σύστημα, με διάμετρο περίπου 3 x 10 ^ 3 μίλια. Πόσες φορές είναι μεγαλύτερος ο Δίας από τον Ερμή;

Ο Δίας είναι 2,7 xx 10 ^ 4 φορές μεγαλύτερος από τον Υδράργυρο Πρώτα πρέπει να ορίσουμε «φορές μεγαλύτερα». Θα το ορίσω ως αναλογία των κατά προσέγγιση όγκων των πλανητών. Υποθέτοντας ότι και οι δύο πλανήτες είναι τέλειες σφαίρες: Όγκος του Δία (V_j) ~ = 4/3 pi (9 / 2xx10 ^ 4) ^ 3 Όγκος υδραργύρου (V_m) ~ = 4/3 π (3 / 2xx10 ^ 3) ο ορισμός των «μεγαλύτερων χρόνων» παραπάνω: V_j / V_m = (4/3 pi (9 / 2xx10 ^ 4) ^ 3) / (4/3 pi (3 / 2xx10 ^ 3) ) ^ 3xx10 ^ 12) / ((3/2) ^ 3xx10 ^ 9) = 9 ^ 3 ^ 2 ^ 3 ^ 2 ^ 3 ^ 3xx10 ^ 3 = 3 ^ = 3 ^ 3 χχ 10 ^ 3 = 27xx10 ^ = 2.7xx10 ^ 4

Ο Spongebob και ο Patrick τρέχουν μακριά από το Krusty Krab. Ο Spongebob τρέχει ανατολικά στα 4 πόδια ανά δευτερόλεπτο, ενώ ο Patrick τρέχει δυτικά στα 2 πόδια ανά δευτερόλεπτο. Πόσο καιρό θα τους πάρει να είναι 192 πόδια μεταξύ τους;

Προς το παρόν, μπορούμε να αγνοήσουμε τα σημάδια των ταχυτήτων τους, αλλά να προσθέσουμε τις ταχύτητές τους. Οπότε η συνολική ταχύτητα που μπορούμε να πούμε είναι 4 + 2 = 6 (ft) / s Προσπαθούμε να βρούμε το χρόνο, έτσι μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα ποσοστό: (6ft) / s = (192ft) / (xs) x = 32s Μπορούμε να ελέγξουμε με τον πολλαπλασιασμό του χρόνου με τις μεμονωμένες ταχύτητές τους: Spongebob: 32cancel (s) * 4 (ft) / ακύρωση = 128 πόδια προς τα δεξιά Patrick: 32cancel * 2 (ft) (ες) = 64 πόδια προς τα αριστερά Όταν προσθέσετε αυτά τα δύο μαζί θα βρείτε 192 πόδια.