Δείξτε ότι 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), για n> 1;

Απάντηση:

Παρακάτω

Εξήγηση:

Για να δείξετε ότι η ανισότητα είναι αληθινή, χρησιμοποιείτε μαθηματική επαγωγή

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # Για #n> 1 #

Βήμα 1: Αποδείξτε αλήθεια για # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Από # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, έπειτα #LHS> RHS #. Ως εκ τούτου, είναι αλήθεια για # n = 2 #

Βήμα 2: Υποθέστε αλήθεια για # n = k # όπου k είναι ένας ακέραιος αριθμός και # k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Βήμα 3: Πότε # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

δηλαδή (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

=> sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # από (1) με υπόθεση

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Από # k> 1 #, έπειτα # -1 / sqrt (k + 1) <0 # και από τότε # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, έπειτα # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # Έτσι # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Βήμα 4: Με την απόδειξη της μαθηματικής επαγωγής, αυτή η ανισότητα ισχύει για όλους τους ακέραιους # n # μεγαλύτερος από #1#

Η ανισότητα που αναφέρθηκε είναι ψευδής.

Π.χ. για # n = 3 #:

# 2 (3)) _ _ (περίπου 2,8) # (2 + 2)

Μια αντίφαση.

Κοστίζει $ 315 για να κλείσετε ένα DJ για 3 ώρες. Κοστίζει $ 525 για να κλείσετε τον ίδιο DJ για 5 ώρες. Πώς γράφετε μια εξίσωση που αντιπροσωπεύει το κόστος y σε δολάρια για την κράτηση ενός DJ για x ώρες;

Για 3 ώρες, παίρνει $ 315, δηλαδή ($ 315) / 3 "ανά ώρα" = $ 105 "/" hr Για 5 ώρες, παίρνει $ 525, δηλαδή ($ 525) / 5 "ανά ώρα" Στη συνέχεια, είναι μια γραμμική εξίσωση ανά ώρα, ο DJ παίρνει $ 105 x "ώρες" = 105x "δολάρια" Εδώ, 105x = y Αν το βιβλίο σας για 1 ώρα 1 "ώρα" = 105 xx 1 "δολάρια"

Το κατάστημα Α πωλεί 2 24 πακέτα λεμονάδας για $ 9. Το κατάστημα Β πωλεί 4 12 πακέτα λεμονάδας για $ 10. Το κατάστημα C πωλεί 3 12 πακέτα για $ 9. Ποια είναι η τιμή μονάδας για ένα κουτάκι λεμονάδας για κάθε κατάστημα;

Βλέπε μια διαδικασία λύσης παρακάτω: Ο τύπος για να βρεθεί η τιμή μονάδας για ένα μόνο κουτάκι λεμονάδας είναι: u = p / (q xx k) όπου: u είναι η μοναδιαία τιμή ενός μόνο προϊόντος: αυτό που επιλύουμε σε αυτό το πρόβλημα . p είναι η συνολική τιμή των προϊόντων. q είναι η ποσότητα των συσκευασιών που πωλήθηκαν. k είναι το μέγεθος των πακέτων. Κατάθεση Α: ** p = $ 9 q = 2 k = 24 Η αντικατάσταση και ο υπολογισμός u δίνει: u = ($ 9) / (2 xx 24) = ($ 9) / 48 = $ 0.1875 # της λεμονάδας είναι: $ 0.1875 Τώρα θα πρέπει να μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ίδια διαδικασία για να καθορίσετε τη λύση για τα Καταστήματα B και C

Η αγορά του Main Street πωλεί πορτοκάλια στα 3,00 δολάρια για πέντε κιλά και μήλα στα 3,99 δολάρια για τρία κιλά. Η Off Street Market πωλεί πορτοκάλια στα 2,59 δολάρια για τέσσερα κιλά και μήλα στα 1,98 δολάρια για δύο λίρες. Ποια είναι η μοναδιαία τιμή για κάθε είδος σε κάθε κατάστημα;

Δείτε μια διαδικασία λύσης παρακάτω: Main Market Market: Πορτοκάλια - Ας καλέσουμε την τιμή μονάδας: O_m O_m = ($ 3.00) / (5 lb) = ($ 0.60) / (lb) = $ 0.60 ανά λίβρα Μήλα - A_m = ($ 3,99) / (3 lb) = (1,33 δολάρια) / (lb) = 1,33 δολάρια ανά λίβρα Αγορά εκτός δρόμου: Πορτοκάλια - Καλέστε την τιμή μονάδας: O_o O_o = ($ 2.59) / (4 lb) (lb) = 0,65 $ ανά λίβρα Μήλα - Ας καλέσουμε την τιμή μονάδας: A_o A_o = ($ 1,98) / (2 lb) = (0,99 $) / (lb) = 0,99 $ ανά λίβρα