Ποια είναι η περιοχή ενός κανονικού εξάγωνου με μήκος apothem μήκους 6 μέτρων;

Απάντηση:

#S_ (εξάγωνο) = 216 / sqrt (3) = 36sqrt (3) ~ = 62,35m ^ 2 #

Εξήγηση:

Αναφορικά με το κανονικό εξάγωνο, από την παραπάνω εικόνα μπορούμε να δούμε ότι σχηματίζεται από έξι τρίγωνα των οποίων οι πλευρές είναι ακτίνα δύο κύκλων και πλευρά εξάγωνου. Η γωνία κάθε κορυφής των τριγώνων αυτών που βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου είναι ίση με #360^@/6=60^@# και έτσι πρέπει να είναι και οι δύο άλλες γωνίες που σχηματίζονται με τη βάση του τριγώνου σε κάθε μια από τις ακτίνες: έτσι τα τρίγωνα αυτά είναι ισόπλευρα.

Ο απότμημ διαιρεί εξίσου το καθένα από τα ισόπλευρα τρίγωνα σε δύο δεξιόστροφα τρίγωνα των οποίων οι πλευρές είναι ακτίνα κύκλου, αποθέματος και μισής πλευράς εξάγωνου. Δεδομένου ότι ο απότμος σχηματίζει μια ορθή γωνία με την πλευρά του εξάγωνου και από την πλευρά του εξάγωνου σχηματίζει #60^@# με την ακτίνα ενός κύκλου με ένα κοινό σημείο με το εξάγωνο, μπορούμε να προσδιορίσουμε την πλευρά με αυτό τον τρόπο:

#tan 60 ^ @ = ("αντίθετος κώνος") / ("γειτονικός κώνος") # => #sqrt (3) = (Apothem) / ((πλευρά) / 2 # => # πλευρά = (2 / sqrt (3)) Apothem #

Όπως ήδη αναφέρθηκε, η περιοχή του κανονικού εξάγωνου σχηματίζεται από την περιοχή των 6 ισόπλευρων τριγώνων (για κάθε ένα από αυτά τα τρίγωνα η βάση είναι μια πλευρά εξάγωνου και το apothem λειτουργεί ως ύψος) ή:

(6 / sqrt (3)) (Apothem) ^ 2 # 3 (2 / sqrt (3)

=> #S_ (εξάγωνο) = (6 xx 6 ^ 2) / sqrt (3) = 216 / sqrt (3) #