Η μέτρηση σε μια καλλιέργεια βακτηρίων ήταν 700 μετά από 20 λεπτά και 1000 μετά από 40 λεπτά. Ποιο ήταν το αρχικό μέγεθος του πολιτισμού;

Απάντηση:

490 μικροοργανισμών.

Εξήγηση:

Θα υποθέσω εκθετική ανάπτυξη για τα βακτήρια. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να μοντελοποιήσουμε την ανάπτυξη με μια εκθετική λειτουργία:

# f (t) = A_0e ^ (kt) #

όπου #κ# είναι η σταθερά ανάπτυξης και # A_0 # είναι η αρχική ποσότητα βακτηρίων.

Τοποθετήστε τις δύο γνωστές τιμές στη συνάρτηση για να πάρετε δύο εξισώσεις:

# 700 = A_0e ^ (20k) # (1)

# 1000 = A_0e ^ 40k # (2)

Διαίρεση (2) από (1) για να βρείτε #κ#:

# 000/700 = (ακύρωση (A_0) e ^ (40k)) / (ακύρωση (A_0) e ^

# 10/7 = e ^ (40k-20k) = e ^ (20k) #

Πάρτε το φυσικό αρχείο και των δύο πλευρών για να απομονώσετε #κ#:

# n (10/7) = ακύρωση (ln) ακύρωση (e) ^ (20k) #

# n (10/7) = 20k #

# k = ln (10/7) / 20 #

Τώρα που έχουμε σταθερή ανάπτυξη, #κ#, μπορούμε να αντικαταστήσουμε ένα από τα σημεία για να λύσουμε το αρχικό ποσό, # A_0 #:

#(40,1000)#

# 1000 = A_0e ^ (ln (10/7) / 20 * 40) #

# A_0 = 1000 / e ^ (0,0178 * 40) = 490 #

Απάντηση:

Αρχικό μέγεθος καλλιέργειας ήταν #490#

Εξήγηση:

Η ανάπτυξη μπορεί να θεωρηθεί ως γεωμετρική εξέλιξη με τον ίδιο ρυθμό ανάπτυξης μετά από κάθε διάστημα #20# λεπτά.

Ο ρυθμός ανάπτυξης μπορεί να προσδιοριστεί από το #1000/700 =10/7#

Όσον αφορά το μέγεθος του αρχικού πληθυσμού #(Χ)#

Αυτό σημαίνει:

# xx 10/7 rarr 700 xx 10/7 rarr 1000 #

# 0 λεπτά "mins" (λευκό) (xxx) 20 "mins" χρώμα (άσπρο) (xxx) 40 "mins" #

Έτσι αν αντιστρέψουμε τη διαδικασία που χωρίζουμε #10/7#

#x μεγαλύτερο 10/7 div 700 μεγαλύτερο 10/7 div larr 1000 #

Να θυμάστε ότι #div 10/7 = xx 7/10 #

# 1000 xx 7/10 = 700 #

# 700 xx 7/10 = 490 #