Ποια είναι η έννοια του ορίου μιας λειτουργίας;

Απάντηση:

Η ΔΗΛΩΣΗ #lim_ (x a) f (x) = L # σημαίνει: ως #Χ# πλησιάζει #ένα#, # f (x) # πλησιάζει #ΜΕΓΑΛΟ#.

Εξήγηση:

Ο ακριβής ορισμός είναι:

Για κάθε πραγματικό αριθμό #ε>0#, υπάρχει ένας άλλος πραγματικός αριθμός #δ>0# έτσι ώστε αν # 0 <| χ-α |<>, έπειτα # | f (x) -L |<>.

Εξετάστε τη λειτουργία # f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Εάν σχεδιάσουμε το γράφημα, μοιάζει με αυτό:

Δεν μπορούμε να πούμε ποια είναι η αξία # x = 1 #, αλλά φαίνεται σαν να # f (x) # προσεγγίσεις #2# όπως και #Χ# προσεγγίσεις #1#.

Ας προσπαθήσουμε να το δείξουμε αυτό (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Το ερώτημα είναι, πώς θα φτάσουμε # 0 <| χ-1 |<> προς το # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Πρέπει να ξεκινήσουμε με κάποια αξία #ε# και στη συνέχεια να βρούμε μια αντίστοιχη τιμή για #δ#.

Ας ξεκινήσουμε με

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = ((χ + 1) (χ-1)) / (χ-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Η άλλη προϋπόθεση είναι

# | x-1 | <δ #

Ο ορισμός ταιριάζει ακριβώς αν #δ = ε#.

Έχουμε δείξει αυτό για όλους #ε#, υπάρχει ένα #δ# έτσι ώστε # | f (x) -2 |<> πότε # 0 <| χ-1 |<>.

Έτσι το δείξαμε

(x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #