Έχει f (x) = (x-9) ^ 3-x + 15 κοίλο ή κυρτό σε x = -3?

Απάντηση:

# f (x) # είναι κοίλο στο # x = -3 #

Εξήγηση:

Σημείωση: κοίλη προς τα πάνω = κυρτή, κοίλη προς τα κάτω = κοίλη

Πρώτα πρέπει να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η λειτουργία είναι κοίλη προς τα πάνω και κοίλη προς τα κάτω.

Το κάνουμε αυτό με την εύρεση του δεύτερου παραγώγου και τον ορισμό του με το μηδέν για να βρούμε τις τιμές x

# f (x) = (x-9) ^ 3 - x + 15 #

# d / dx = 3 (x-9) ^ 2-1 #

# d ^ 2 / dx ^ 2 = 6 (χ-9) #

# 0 = 6x - 54 #

# x = 9 #

Τώρα δοκιμάζουμε τιμές x στο δεύτερο παράγωγο σε κάθε πλευρά αυτού του αριθμού για θετικά και αρνητικά διαστήματα. Τα θετικά διαστήματα αντιστοιχούν σε κοίλα ανοδικά και αρνητικά διαστήματα αντιστοιχούν σε κοίλα προς τα κάτω

όταν το x <9: αρνητικό (κοίλο προς τα κάτω)

όταν x> 9: θετική (κοίλη προς τα πάνω)

Έτσι με τη δεδομένη τιμή x του # x = -3 #, το βλέπουμε αυτό επειδή #-3# βρίσκεται στα αριστερά των 9 στα διαστήματα, επομένως # f (x) # είναι κοίλη κάτω στο # x = -3 #