Μετατρέψτε όλους τους πολύπλοκους αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή και, στη συνέχεια, απλοποιήστε την έκφραση; Γράψτε την απάντηση σε τυποποιημένη μορφή.

Απάντηση:

(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} + 1) / 2 i #

Εξήγηση:

Σε μια άλλη απάντηση σε αυτή την ερώτηση υποθέτω ότι υπήρχε τυπογραφικό λάθος σε αυτό το ερώτημα και αυτό #-3# έπρεπε να είναι # -sqrt {3} #. Είμαι βέβαιος σε ένα σχόλιο ότι αυτό δεν συμβαίνει, ότι η ερώτηση είναι σωστή όπως γράφτηκε.

Δεν θα επαναλάβω πώς αποφασίσαμε

# 2 + 2i = 2 sqrt {2} text {cis}

# sqrt {3} + i = 2 κείμενο {cis} 30 ^ circ #

Αλλά τώρα πρέπει να μετατρέψουμε # -3 + i # σε τριγωνομετρική μορφή. Μπορούμε να το κάνουμε, αλλά επειδή δεν είναι ένα από τα προτιμώμενα τρίγωνα του Trig, είναι λίγο πιο δύσκολο.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Βρισκόμαστε στο δεύτερο τεταρτημόριο και η κύρια τιμή της αντίστροφης εφαπτομένης είναι το τέταρτο τεταρτημόριο.

# γωνία (-3 + i) = κείμενο {Arc} κείμενο {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^

(1 / {- 3}) + 180 ^ cir) # 3 + i = sqrt {10} text {cis}

Ο De Moivre δεν λειτουργεί πολύ καλά σε μια μορφή όπως αυτή, παίρνουμε

(3 / i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis}

Αλλά δεν είμαστε κολλημένοι. Δεδομένου ότι ο εκθέτης είναι μόνο #3# μπορούμε να το κάνουμε αυτό με τύπους τριπλής γωνίας. Ας καλέσουμε τη σταθερή γωνία που βρήκαμε

#theta = γωνία (-3 + i) #

Από τον De Moivre, (3) και (3) (3) (3) (3) (3)

Ξέρουμε

# cos cos theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

(3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10) 50 #

(1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10) / 50 #

(-9 + 13) = -18 +26 i # (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50)

Αυτό μοιάζει με πολύ περισσότερη δουλειά απ 'ό, τι ακριβώς το cubing # (- 3 + i): #

(3 + i) (-3 + i) (- 3 + i) (-3 + i) = 8 + 26 i quad sqrt #

Εντάξει, ας κάνουμε το πρόβλημα:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {

# {{2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / { } #

{= {{2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10} { text {cis} 3 + i) ^ 3 #

{= {sqrt {2} / 8} { text {cis} (225 ^ cir)} /

= (sqrt {2} / 8) κείμενο {cis} (225 ^ cir - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) κείμενο {cis} (- 75 ^ circ) #

Ugh, δεν τελειώνει ποτέ. Παίρνουμε

#cos (= 75 ^ cir) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2-1/2) {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {

= {sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) -

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) -2) / 4 i #