Είναι η ακολουθία a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) συγκλίνουσα ή αποκλίνουσα;

Απάντηση:

# "Βλέπε εξήγηση" #

Εξήγηση:

# a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n #

# = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3)

# = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4)

# "Σημειώστε ότι μπορείτε να εφαρμόσετε πιο εύκολα το όριο του Euler εδώ:" #

(1 + 1 / n) ^ n = e = 2,7182818 …. #

(1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 …. #

# "Έτσι, η ακολουθία μεγαλώνει πολύ, αλλά δεν είναι απείρως μεγάλη, έτσι" #

# "συγκλίνει." #