Απάντηση:
Συγκρίνεται απολύτως.
Εξήγηση:
Χρησιμοποιήστε τη δοκιμή για απόλυτη σύγκλιση. Αν πάρουμε την απόλυτη αξία των όρων που παίρνουμε τη σειρά
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Αυτή είναι μια γεωμετρική σειρά κοινής αναλογίας #1/4#. Έτσι συγκλίνει. Δεδομένου ότι και οι δύο # | a_n | # συγκλίνει #ένα# συγκλίνει απολύτως.
Ας ελπίσουμε ότι αυτό βοηθά!
Απάντηση:
# "Είναι μια απλή γεωμετρική σειρά και συγκλίνει απολύτως με" # # "άθροισμα" = 16/5 = 3.2. "#
Εξήγηση:
(1 + α + α ^ 2 + α ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", υπό την προϋπόθεση ότι |
= 1 + α + α ^ 2 + α ^ 3 + … = 1 / (1-α) #
# "Πάρτε" a = -1/4 ", τότε έχουμε" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Τώρα η σειρά μας είναι τέσσερις φορές όσο ο πρώτος όρος είναι 4." #
# "Έτσι η σειρά μας" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Απάντηση:
Η γεωμετρική σειρά συγκλίνει απολύτως με
(n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Εξήγηση:
Αυτή η σειρά είναι σίγουρα μια εναλλασσόμενη σειρά. Ωστόσο, φαίνεται επίσης γεωμετρική.
Αν μπορούμε να καθορίσουμε την κοινή αναλογία που μοιράζεται με όλους τους όρους, η σειρά θα είναι στη μορφή
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
Οπου #ένα# είναι ο πρώτος όρος και # r # είναι η κοινή αναλογία.
Θα χρειαστεί να βρούμε το άθροισμα χρησιμοποιώντας την παραπάνω μορφή.
Διαχωρίστε κάθε όρο από τον όρο πριν από αυτόν για να καθορίσετε την κοινή αναλογία # r #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Έτσι, αυτή η σειρά είναι γεωμετρική, με την κοινή αναλογία # r = -1 / 4 #, και τον πρώτο όρο # a = 4. #
Μπορούμε να γράψουμε τη σειρά ως
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Θυμηθείτε ότι μια γεωμετρική σειρά #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # συγκλίνει προς # a / (1-r) # αν # | r | <1 #. Έτσι, αν συγκλίνει, μπορούμε επίσης να βρούμε την ακριβή αξία του.
Εδώ, # | r | = | -1 / 4 | = 1/4 <1 #, έτσι ώστε η σειρά συγκλίνει:
(1/4) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Τώρα, ας προσδιορίσουμε αν συγκλίνει απολύτως.
# a_n = 4 (-1 / 4) ^ n #
Απογυμνώστε τον εναλλακτικό αρνητικό όρο:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Πάρτε την απόλυτη τιμή, προκαλώντας την εξαφάνιση του εναλλασσόμενου αρνητικού όρου:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
Ετσι, (n = 0) ^ oo | a_n | = άθροισμα (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Βλέπουμε # | r | = 1/4 <1 #, έτσι έχουμε ακόμα σύγκλιση:
(1/4) = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Η σειρά συγκλίνει απολύτως με
(n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
