Πώς μπορώ να απλοποιήσω την αμαρτία (arkcos (sqrt (2) / 2) -arcsin (2x));

Απάντηση:

παίρνω #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) ## = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #

Εξήγηση:

Έχουμε το ημίτονο μιας διαφοράς, οπότε το πρώτο βήμα θα είναι ο τύπος γωνίας διαφοράς, #sin (a-b) = αμαρτία cos b - cos α αμαρτία b #

#sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = sin arccos (sqrt {2} / 2) cos arcsin (2x) + cos arccos (sqrt {2} / 2)

Λοιπόν το ημίτονο του τόξου και το συνημίτονο της αρκοσίνης είναι εύκολο, αλλά τι γίνεται με τους άλλους; Λοιπόν αναγνωρίζουμε #arccos (sqrt {2} / 2) # όπως και # , Έτσι

#sin arccos (sqrt {2} / 2) = pm sqrt {2} / 2 #

Θα φύγω #μετα μεσημβριας# εκεί; Προσπαθώ να ακολουθήσω τη σύμβαση ότι τα arccos είναι όλα τα αντίστροφα κοσμήματα, έναντι του Arccos, της κύριας αξίας.

Αν γνωρίζουμε το ημίτονο μιας γωνίας είναι # 2x #, αυτή είναι μια πλευρά του # 2x # και μια υποταγή του #1# έτσι η άλλη πλευρά είναι # sqrt {1-4x ^ 2} #.

# cos arcsin (2x) = pm sqrt {1-4x ^ 2} #

Τώρα, #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

(2) / 2 (2) / 2 sqrt {1-4x ^ 2} + (sqrt {2} / 2)

# = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #