Πώς βρίσκετε αμαρτία (x / 2), cos (x / 2) και μαύρισμα (x / 2) από το δεδομένο Cot (x) = 13;

Απάντηση:

Υπάρχουν στην πραγματικότητα τέσσερις τιμές για # x / 2 # στον κύκλο μονάδας, έτσι τέσσερις τιμές για κάθε λειτουργία trig. Η κύρια τιμή της μισής γωνίας είναι γύρω # 2.2 ^ circus #

#cos (1 / 2text {Arc} κείμενο {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 {

#sin (1 / 2text {Arc} κείμενο {cot} 13) = sin 2,2 ^ circ = sqrt {1/2 {1}

#tan (1 / 2text {Arc} κείμενο {cot} 13) = μαύρισμα 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Ανατρέξτε στην εξήγηση για τους άλλους.

Εξήγηση:

Ας μιλήσουμε πρώτα για την απάντηση. Υπάρχουν δύο γωνίες στον κύκλο της μονάδας του οποίου είναι το cotangent #13#. Το ένα είναι γύρω # 4.4 ^ circ #, και ένα άλλο είναι ότι συν # 180 ^ circ #, κάλεσε το # 184.4 ^ circ #. Καθένα από αυτά έχει δύο μισές γωνίες, χωρισμένες και πάλι # 180 ^ κύκλωμα # Το πρώτο έχει μισές γωνίες # 2.2 ^ circ # και # 182.2 ^ circ #, το δεύτερο έχει μισές γωνίες # 92.2 ^ circ # και # 272.2 ^ circ #, Υπάρχουν λοιπόν τέσσερις μισές γωνίες, με διαφορετικές αλλά σχετικές τιμές για τις λειτουργίες τους.

Θα χρησιμοποιήσουμε τις παραπάνω γωνίες ως προσεγγίσεις για να έχουμε ονόματα γι 'αυτά.

Γωνίες με συντετμημένο 13:

#text {Arc} κείμενο {κούνια} 13 περίπου 4.4 ^ circ #

# 180 ^ κύκλωμα + κείμενο {Arc} κείμενο {κούνια} 13 περίπου 184,4 ^ circ #

Μισό γωνίες:

# 1/2 κείμενο {Arc} κείμενο {κούνια} 13 περίπου 2,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + κείμενο {Arc} κείμενο {cot} 13) περίπου 182,2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circus + κείμενο {Arc} κείμενο {cot} 13) περίπου 92,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + κείμενο {Arc} κείμενο {cot} 13) περίπου 272.2 ^

Εντάξει, οι τύποι διπλής γωνίας για το συνημίτονο είναι:

# cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

έτσι οι σχετικοί τύποι μισής γωνίας είναι

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Όλα αυτά είναι προκαταρκτικά. Ας κάνουμε το πρόβλημα.

Θα κάνουμε πρώτα τη μικροσκοπική γωνία, # 2.2 ^ circus # Βλέπουμε ότι τα υπόλοιπα είναι απλώς πολλαπλάσια # 90 ^ circ # πάνω από αυτό, έτσι ώστε να μπορέσουμε να πάρουμε τις λειτουργίες τους από αυτή την πρώτη γωνία.

Ένα cotangent των 13 είναι μια πλαγιά του #1/13# έτσι αντιστοιχεί σε ένα ορθό τρίγωνο με το αντίθετο #1#, δίπλα #13# και υποταινού #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (κείμενο {Arc} κείμενο {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (κείμενο {Arc} κείμενο {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170}

Τώρα εφαρμόζουμε τους τύπους μισής γωνίας. Για τη γωνία μας στο πρώτο τεταρτημόριο, επιλέγουμε τα θετικά σημάδια.

#cos (1 / 2text {Arc} κείμενο {cot}}) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ / sqrt {170})} #

Θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να απλοποιήσουμε και να μετακινήσουμε τα κλάσματα έξω από τη ριζοσπαστική, αλλά πρόκειται απλώς να τα αφήσω εδώ.

(1/2 {1/2 {1/2 {1/2 {1/2 {1/2} {1/2 {1/2 {1/2 {1/2 { / sqrt {170})} #

Η εφαπτόμενη μισή γωνία είναι το πηλίκο αυτών, αλλά είναι ευκολότερη στη χρήση

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

(1 / 2text {Arc} κείμενο {cot} 13) = μαύρο 2,2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / sqrt {170}} =

Εντάξει, αυτό είναι το δύσκολο κομμάτι, αλλά ας μην ξεχνάμε και τις άλλες οπτικές γωνίες.

# cos {cos} {} {} {} {} {}

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2,2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})}

# tan 182,2 ^ circ = tan 2,2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Τώρα έχουμε τις υπόλοιπες γωνίες, οι οποίες ανταλλάσσουν το ημίτονο και το συνημίτονο, αντανακλώντας σημάδια. Δεν θα επαναλάβουμε τα έντυπα εκτός από την εφαπτομένη.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2,2 ^ circ} = -13-sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2,2 ^ circ #

# tan 272,2 ^ circ = tan 92,2 ^ circ = -13-sqrt (170) #

Φτου.

Απάντηση:

#color (indigo) (μαύρο (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384 cos (x /

(χ / 2) = -26,0384, sin (x / 2) = + - 0,9993, cos (x / 2) = + 0,0384 #

Εξήγηση:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1-tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2χ) #

+ cos 2x = (1-2 tan ^ 2 χ) / (1 + tan ^ 2 χ) #

#cot x = 1 / μαύρισμα x = 13 #

# tan x = 1/13 #

# tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1-tan ^ 2 (χ / 2)

# 1 - tan ^ 2 (χ / 2) = 26 tan (χ / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 μαύρισμα (x / 2) - 1 = 0 #

# (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #

# csc ^ 2x = 1 + κουβέρτα ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (χ / 2) = 1 + κούνια ^ 2 (χ / 2) #

Αλλά ξέρω #cot (x / 2) = 1 / μαύρισμα (x / 2) #

Πότε #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (χ / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 =

Πότε #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = +0.0384 #