Αποδείξτε ότι αν το n είναι περίεργο, τότε n = 4k + 1 για κάποια k στο ZZ ή n = 4k + 3 για κάποια k στο ZZ;

Ακολουθεί ένα βασικό περίγραμμα:

Πρόταση: Αν # n # είναι περίεργο, τότε # n = 4k + 1 # για ορισμένες #k σε ZZ # ή # n = 4k + 3 # για ορισμένες #k σε ZZ #.

Απόδειξη: Αφήστε #n σε ZZ # όπου # n # είναι περίεργο. διαιρέστε # n # έως 4.

Στη συνέχεια, με αλγόριθμο διαίρεσης, # R = 0,1,2, # ή #3# (υπόλοιπο).

Περίπτωση 1: R = 0. Εάν το υπόλοιπο είναι #0#, έπειτα # n = 4k = 2 (2k) #.

#:. n # είναι αδύνατο

Περίπτωση 2: R = 1. Εάν το υπόλοιπο είναι #1#, έπειτα # n = 4k + 1 #.

#:. n # είναι περίεργο.

Περίπτωση 3: R = 2. Εάν το υπόλοιπο είναι #2#, έπειτα # n = 4k + 2 = 2 (2k + 1) #.

#:. n # είναι αδύνατο.

Περίπτωση 4: R = 3. Εάν το υπόλοιπο είναι #3#, έπειτα # n = 4k + 3 #.

#:. n # είναι περίεργο.

#:. n = 4k + 1 ή η = 4k + 3 # αν # n # είναι παράξενο