Αποδείξτε ότι η συνάρτηση δεν έχει lim x_0 = 0; + Παράδειγμα

Απάντηση:

Βλέπε εξήγηση.

Εξήγηση:

Σύμφωνα με τον ορισμό του Heine για ένα όριο λειτουργίας έχουμε:

(x) = g (x) = g iff #

(X) = (x) = (x) = (x) = (x)

Για να δείξουμε λοιπόν ότι έχει κάποια λειτουργία ΟΧΙ όριο στο # x_0 # πρέπει να βρούμε δύο ακολουθίες # {x_n} # και # {bar (x) _n} # έτσι, αυτό

(x) _n = x_0 # lim_ {n -> + oo}

και

(x) = (x) = (x) = (x)

Στο δεδομένο παράδειγμα τέτοιες ακολουθίες μπορούν να είναι:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # και #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Και οι δύο αλληλουχίες συγκλίνουν προς # x_0 = 0 #, αλλά σύμφωνα με τον τύπο της λειτουργίας έχουμε:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

επειδή όλα τα στοιχεία στο # x_n # είναι μέσα #1,1/2,1/4,…#

και για #bar (x) _n # έχουμε:

# f (ράβδος (x) _1) = f (1) = 2 #

αλλά για όλους # n> = 2 # έχουμε: # f (γραμμή (x) _n) = 1 #

Ετσι, για #n -> + oo # έχουμε:

(λ) (x) (n) = 1 # (**)

Και οι δύο ακολουθίες καλύπτουν # x_0 = 0 #, αλλά τα όρια (*) και (**) είναι ΔΕΝ ίσο, έτσι το όριο #lim_ {x-> 0} f (x) # δεν υπάρχει.

QED

Ο ορισμός των ορίων μπορεί να βρεθεί στη Wikipedia στη διεύθυνση:

Απάντηση:

Εδώ είναι μια απόδειξη που χρησιμοποιεί την άρνηση του ορισμού της ύπαρξης ενός ορίου.

Εξήγηση:

Σύντομη εκδοχή

# f (x) # δεν μπορεί να προσεγγίσει έναν μόνο αριθμό #ΜΕΓΑΛΟ# γιατί σε οποιαδήποτε γειτονιά του #0#, η λειτουργία #φά# λαμβάνει τιμές που διαφέρουν μεταξύ τους από #1#.

Έτσι, δεν έχει σημασία τι προτείνει κάποιος #ΜΕΓΑΛΟ#, υπάρχουν σημεία #Χ# κοντά #0#, όπου # f (x) # είναι τουλάχιστον #1/2# μονάδα μακριά από #ΜΕΓΑΛΟ#

Μακρά έκδοση

#lim_ (xrarr0) f (x) # υπάρχει και μόνο εάν

υπάρχει ένας αριθμός, #ΜΕΓΑΛΟ# όπως για όλους #epsilon> 0 #, υπάρχει ένα #delta> 0 # έτσι ώστε για όλους #Χ#, # 0 <abs (χ) <δέλτα # υποδηλώνει #abs (f (x) -L) <epsilon #

Η άρνηση αυτού είναι:

#lim_ (xrarr0) f (x) # δεν υπάρχει εάν και μόνο αν

για κάθε αριθμό, #ΜΕΓΑΛΟ# υπάρχει ένα #epsilon> 0 #, έτσι ώστε για όλους #delta> 0 # υπάρχει ένα #Χ#, έτσι ώστε # 0 <abs (χ) <δέλτα # και #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Δεδομένου αριθμού #ΜΕΓΑΛΟ#, Θα αφήσω #epsilon = 1/2 # (οποιαδήποτε μικρότερη #έψιλο# θα λειτουργήσει επίσης)

Τώρα δίνεται ένα θετικό #δέλτα#, Πρέπει να δείξω ότι υπάρχει #Χ# με # 0 <absx <δέλτα # και #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (υπενθυμίζω ότι #epsilon = 1/2 #)

Λαμβάνοντας ένα θετικό #δέλτα#, τελικά # 1/2 ^ n <delta # έτσι υπάρχει ένα # x_1 # με # f (x_1) = 2 #.

Υπάρχει επίσης ένα στοιχείο # x_2 σε RR- {1, 1/2, 1/4,… } # με # 0 <χ_2 <δέλτα # και # f (x_2) = 1 #

Αν # Λ <= (1/2) #, έπειτα #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Αν #L> = (1/2) #, έπειτα #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #