Έχουμε έναν κύκλο με εγγεγραμμένο τετράγωνο με εγγεγραμμένο κύκλο με εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο. Η διάμετρος του εξωτερικού κύκλου είναι 8 πόδια. Το υλικό τριγώνου κοστίζει 104,95 δολάρια ένα τετραγωνικό πόδι. Ποιο είναι το κόστος του τριγωνικού κέντρου;

Απάντηση:

Το κόστος ενός τριγωνικού κέντρου είναι $ 1090.67

Εξήγηση:

# AC = 8 # ως δεδομένη διάμετρος ενός κύκλου.

Επομένως, από το Πυθαγόρειο Θεώρημα για το σωστό τρίγωνο ισοσκελισμού #Delta ABC #, #AB = 8 / sqrt (2) #

Στη συνέχεια, από τότε #GE = 1/2 AB #, #GE = 4 / sqrt (2) #

Προφανώς, τρίγωνο #Delta GHI # είναι ισόπλευρη.

Σημείο #ΜΙ# είναι ένα κέντρο ενός κύκλου που περιγράφει #Delta GHI # και ως τέτοιο είναι ένα κέντρο τομής των μέσων, υψομέτρων και γωνιακών διχοτόμων αυτού του τριγώνου.

Είναι γνωστό ότι ένα σημείο τομής των διαμεσολαβητών χωρίζει αυτούς τους μεσαίους σε αναλογία 2: 1 (για απόδειξη δείτε Unizor και ακολουθήστε τους συνδέσμους Γεωμετρία - Παράλληλες Γραμμές - Μικρά Θεώρημα 2 - Θεωρία 8)

Επομένως, # GE # είναι #2/3# του συνολικού διάμεσου (και του υψομέτρου, και της διχοτόμησης γωνιών) του τριγώνου #Delta GHI #.

Γνωρίζουμε λοιπόν το υψόμετρο # h # του #Delta GHI #, είναι ίση με #3/2# πολλαπλασιαζόμενο επί το μήκος της # GE #:

#h = 3/2 * 4 / sqrt (2) = 6 / sqrt (2) #

Γνωρίζων # h #, μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς #ένα# του #Delta GHI # χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα:

# (a / 2) ^ 2 + h ^ 2 = α ^ 2 #

από τα οποία προκύπτει:

# 4h ^ 2 = 3a ^ 2 #

# a = (2h) / sqrt (3) #

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε #ένα#:

# a = (2 * 6) / (sqrt (2) * sqrt (3)) = 2sqrt (6) #

Η περιοχή ενός τριγώνου είναι, συνεπώς, #S = 1 / 2ah = 1/2 * 2sqrt (6) * 6 / sqrt (2) = 6sqrt (3)

Σε τιμή $ 104,95 ανά τετραγωνικό πόδι, η τιμή ενός τριγώνου είναι

#P = 104,95 * 6sqrt (3) ~ ~ 1090,67 #