Αποδείξτε τα εξής;

Απάντηση:

Ελέγξτε παρακάτω.

Εξήγηση:

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2-1) dx> 0 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (1) dx # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> x _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 2-1 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 #

Πρέπει να το αποδείξουμε

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 #

Εξετάστε μια λειτουργία # f (x) = e ^ x-lnx #, # x> 0 #

Από τη γραφική παράσταση του # C_f # μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι για # x> 0 #

έχουμε # e ^ x-lnx> 2 #

Εξήγηση:

# f (x) = e ^ x-lnx #, #Χ##σε##1/2,1#

# f '(x) = e ^ x-1 / x #

# f '(1/2) = sqrte-2 <0 #

# f '(1) = e-1> 0 #

Σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano (Ενδιάμεση Αξία) έχουμε # f '(x_0) = 0 # #<=># # e ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# e ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # x_0 = -inx_0 #

Η κατακόρυφη απόσταση είναι μεταξύ # e ^ x # και # lnx # είναι ελάχιστο όταν # f (x_0) = e ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

Πρέπει να το δείξουμε αυτό # f (x)> 2 #, # AAx ##>0#

# f (x)> 2 # #<=># # x_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# x_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (x_0-1) ^ 2> 0 # #-># αλήθεια για # x> 0 #

διάγραμμα {e ^ x-lnx -6,96, 7,09, -1,6, 5,42}

# (e ^ x-lnx) / x ^ 2> 2 / x ^ 2 #

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (2 / x ^ 2) #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> - 2 / x #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> ##-1+2# #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2-1) dx> 0 #