Πώς βρίσκετε τους ασυμπτωτικούς για το y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3));

Απάντηση:

Κατακόρυφος

# x = 1 #

# x = 3 #

Οριζόντιος

# x = 1 # (και για τους δύο # + - oo #)

Λοξός

Δεν υπάρχουν

Εξήγηση:

Αφήνω # y = f (x) #

• Κάθετα ασυμπτωτικά

Βρείτε τα όρια της συνάρτησης καθώς τείνει στα όρια του τομέα εκτός από το άπειρο. Αν το αποτέλεσμά τους είναι άπειρο, από αυτό #Χ# line είναι ένα ασυμπτώ. Εδώ, ο τομέας είναι:

# x σε (-ο, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Έτσι οι 4 δυνατόν οι κάθετοι ασυμπτωτικοί είναι:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Ασυμπτώτης # x-> 1 ^ - #

(χ-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / ((x-1) 0 ^ - * (- 2)) = #

= - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = Vertical asymptote για # x = 1 #

Σημείωση: για # x-1 # Από #Χ# είναι ελαφρώς χαμηλότερη από 1 το αποτέλεσμα θα είναι κάτι λίγο χαμηλότερο από το 0, έτσι το σημείο θα είναι αρνητικό, εξ ου και η νότα #0^-# που αργότερα μεταφράζεται σε αρνητικό σημάδι.

Επιβεβαίωση για ασυμπτώ # x-> 1 ^ + #

(x-1) + (x + 1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (x-1) 0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (-2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = Επιβεβαιωμένος

Ασυμπτώτης # x-> 3 ^ - #

(x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (x-1) 2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Vertical asymptote για # x = 3 #

Επιβεβαίωση για ασυμπτώ # x-> 3 ^ + #

(x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (x-1) 2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Επιβεβαιωμένος

• Οριζόντια ασυμπτωτικά

Βρείτε και τα δύο όρια καθώς τείνει η λειτουργία # + - oo #

Μείον άπειρο # x -> - oo #

(x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1)

(x + 2 / x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) / x ^ 2)) / (χ ^ 2 (1-4 / χ-3 / χ ^ 2)) =

(x + 2 / x + 1 / x 2)) / (ακύρωση (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Οριζόντια ασυμπτώ για # y = 1 #

Plus άπειρο # x -> + oo #

(x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1)

(x + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) / x ^ 2)) / (χ ^ 2 (1-4 / χ-3 / χ ^ 2)) =

(x + 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (ακύρωση (x ^ 2) 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 /

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Οριζόντια ασυμπτώ για # y = 1 #

Σημείωση: συμβαίνει ακριβώς ότι αυτή η λειτουργία έχει μια κοινή οριζόντια και για τις δύο # -oo # και # + oo #. Θα πρέπει πάντα να ελέγχετε και τα δύο.

• Λοξή ασυμπότες

Πρέπει πρώτα να βρείτε και τα δύο όρια:

(x -> + - oo) f (x) / x #

Για κάθε ένα, εάν αυτό το όριο είναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε υπάρχει το ασυμπτωτικό και το όριο είναι η κλίση του. ο # y # η σύλληψη του καθενός είναι το όριο:

(x -> + - oo) (f (x) - m * x) #

Ωστόσο, για να μας σώσει το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κάποια λειτουργία "γνώση" για να αποφύγετε αυτό. Από τότε που ξέρουμε # f (x) # έχει οριζόντιο ασυμπτωτικό και για τα δύο # + - oo # ο μόνος τρόπος να έχει κανείς λοξό έχει μια άλλη γραμμή όπως # x -> + - oo #. Ωστόσο, # f (x) # είναι ένα #1-1# έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο # y # τιμές για ένα #Χ#, επομένως μια δεύτερη γραμμή είναι αδύνατη, οπότε είναι αδύνατο να έχετε πλάγια ασυμπτωτικά.