Η συνάρτηση 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 είναι τα μέγιστα, τα ελάχιστα ή το σημείο καμπής;

Απάντηση:

• Δεν υπάρχουν λεπτά ή μέγιστα
• Σημείο προσβολής στο # x = -2 / 3 #.

διάγραμμα {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Εξήγηση:

Mins και Maxes

Για ένα δεδομένο #Χ#-αριθμός (ας το καλέσουμε #ντο#) να είναι ένα μέγιστο ή ένα λεπτό για μια δεδομένη λειτουργία, πρέπει να ικανοποιεί τα ακόλουθα:

# f '(γ) = 0 # ή απροσδιόριστο.

Αυτές οι τιμές του #ντο# ονομάζονται επίσης σας κρίσιμα σημεία.

Σημείωση: Δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία μέγιστα / λεπτά, αλλά όλα τα μέγιστα / λεπτά είναι κρίσιμα σημεία

Λοιπόν, ας τα βρούμε για τη λειτουργία σας:

# f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Αυτό δεν είναι παράγοντας, οπότε ας δοκιμάσουμε την τετραγωνική φόρμουλα:

# x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2-4 (9) (6)) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… και μπορούμε να σταματήσουμε εκεί. Όπως μπορείτε να δείτε, καταλήγουμε να έχουμε έναν αρνητικό αριθμό κάτω από την τετραγωνική ρίζα. Ως εκ τούτου, υπάρχουν δεν υπάρχουν πραγματικά κρίσιμα σημεία για αυτή τη λειτουργία.

-

Σημεία προσβολής

Τώρα, ας βρούμε σημεία καμπής. Αυτά είναι σημεία όπου το γράφημα έχει μια μεταβολή στην κοίλη (ή καμπυλότητα). Για ένα σημείο (καλέστε το #ντο#) ως σημείο καμπής, πρέπει να ικανοποιεί τα εξής:

# f '' (γ) = 0 #.

Σημείωση: Όχι όλα αυτά τα σημεία είναι σημεία καμπής, αλλά όλα τα σημεία καμπής πρέπει να το ικανοποιούν.

Ας δούμε λοιπόν τα εξής:

# f '' (x) = 0 #

= d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Τώρα, πρέπει να ελέγξουμε αν αυτό είναι πράγματι ένα σημείο καμπής. Θα πρέπει λοιπόν να το επιβεβαιώσουμε # f '' (x) # στην πραγματικότητα αλλάζει την υπογραφή στο # x = -2 / 3 #.

Ας δοκιμάζουμε λοιπόν τις τιμές στα δεξιά και στα αριστερά του # x = -2 / 3 #:

Σωστά:

# x = 0 #

# f '' (0) = 12 #

Αριστερά:

# x = -1 #

# f '' (- 1) = -6 #

Δεν μας νοιάζει τόσο πολύ τι είναι οι πραγματικές αξίες, αλλά όπως μπορούμε να δούμε καθαρά, υπάρχει ένας θετικός αριθμός στα δεξιά του # x = -2 / 3 #, και έναν αρνητικό αριθμό στα αριστερά του # x = -2 / 3 #. Ως εκ τούτου, είναι πράγματι ένα σημείο καμπής.

Να συνοψίσουμε, # f (x) # δεν έχει κρίσιμα σημεία (ή mins ή maxes), αλλά έχει ένα σημείο καμπής στο # x = -2 / 3 #.

Ας ρίξουμε μια ματιά στο γράφημα του # f (x) # και να δούμε τι σημαίνουν αυτά τα αποτελέσματα:

διάγραμμα {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Αυτό το γράφημα αυξάνεται παντού, οπότε δεν έχει κανέναν τόπο όπου το παράγωγο = 0. Ωστόσο, πηγαίνει από καμπύλη προς τα κάτω (κοίλη προς τα κάτω) έως καμπύλη προς τα πάνω (κοίλη προς τα πάνω) # x = -2 / 3 #.

Ελπίδα ότι βοήθησε:)