Τι είναι η σειρά Taylor του f (x) = arctan (x);

(x) = (1) = (2) + (2)

Ας δούμε κάποιες λεπτομέρειες.

# f (x) = arctanx #

(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Θυμηθείτε ότι η σειρά γεωμετρικής ισχύος

# 1 / {1-x} = άθροισμα {n = 0} ^ infty x ^ n #

αντικαθιστώντας #Χ# με # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = # #

Ετσι, # f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Με την ενσωμάτωση, (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

με την τοποθέτηση του ολοκληρωμένου σημείου μέσα στο άθροισμα, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

από τον κανόνα εξουσίας, # = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1}

Από # f (0) = arctan (0) = 0 #, (0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Ως εκ τούτου, (x) = (1) = (2) + (2)