Τι είναι ίσο με το -3sin (arccos (2)) cos (arc cos (3));

Απάντηση:

Πρόβλημα αδιαθεσία

Εξήγηση:

Δεν υπάρχουν τόξα που το κοσκινό τους είναι ίσα με 2 και 3.

Από αναλυτική άποψη, το # arccos # Η λειτουργία ορίζεται μόνο #-1,1# Έτσι #arccos (2) # & #arccos (3) # δεν υπάρχουν.

Απάντηση:

Στ 'αλήθεια # cos # και #αμαρτία# αυτό δεν έχει λύσεις, αλλά ως συναρτήσεις των σύνθετων αριθμών βρίσκουμε:

# 3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Εξήγηση:

Ως πραγματικές εκτιμημένες λειτουργίες πραγματικών αξιών #Χ#, τις λειτουργίες #cos (x) # και #sin (x) # λαμβάνουν μόνο τιμές στην περιοχή #-1, 1#, Έτσι #arccos (2) # και #arccos (3) # είναι απροσδιόριστα.

Ωστόσο, είναι δυνατό να επεκταθεί ο ορισμός αυτών των λειτουργιών σε σύνθετες λειτουργίες #cos (z) # και #sin (z) # ως εξής:

Ξεκινώντας με:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

μπορούμε να συμπεράνουμε:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

(x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Ως εκ τούτου μπορούμε να ορίσουμε:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

για οποιονδήποτε Πολύπλοκο αριθμό # z #.

Είναι δυνατό να βρείτε πολλαπλές τιμές του # z # που ικανοποιούν #cos (z) = 2 # ή #cos (z) = 3 #, οπότε θα μπορούσαν να γίνουν κάποιες επιλογές για να καθοριστεί η κύρια αξία #arccos (2) # ή #arccos (3) #.

Για να βρείτε κατάλληλους υποψηφίους, λύστε # (e ^ (iz) + e ^ (-ζ)) / 2 = 2 #, και τα λοιπα.

Ωστόσο, σημειώστε ότι η ταυτότητα # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # ισχύει για οποιονδήποτε Πολύπλοκο αριθμό # z #, έτσι μπορούμε να συμπεράνουμε:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3)

Ελπίζω ότι είναι δυνατόν να ορίσουμε την κύρια αξία με τέτοιο τρόπο ώστε #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # προκειμένου # -sqrt (3) i #.

Σε κάθε περίπτωση, #cos (arccos (3)) = 3 # εξ ορισμού.

Κάνοντας αυτό όλα μαζί, βρίσκουμε:

# 3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #