Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4); στο διάστημα [-2,2];

Απάντηση:

Η ελάχιστη τιμή είναι # x = 1-sqrt 5 περίπου "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) περίπου "-" 0,405 #.

Εξήγηση:

Σε ένα κλειστό διάστημα, οι πιθανές θέσεις στο ελάχιστο θα είναι:

• ένα τοπικό ελάχιστο μέσα στο διάστημα, ή
• τα τελικά σημεία του διαστήματος.

Επομένως υπολογίζουμε και συγκρίνουμε τιμές για # g (x) # σε κάθε περίπτωση # x στο "-2", 2 # που κανει # g '(x) = 0 #, καθώς και στο # x = "- 2" # και # x = 2 #.

Πρώτον: τι είναι # g '(x) #; Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πηλίκο, παίρνουμε:

(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2χ)

(γ) (x) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

(γ) (x) = (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Αυτό θα είναι μηδέν όταν ο αριθμητής είναι μηδέν. Με την τετραγωνική φόρμουλα, παίρνουμε

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 περίπου {"-1.236", 3.236} #

Μόνο ένα από αυτά #Χ#-οι τιμές είναι σε #'-2',2#, και αυτό είναι # x = 1-sqrt 5 #.

Τώρα, υπολογίζουμε:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / ("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 =

2. (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / (1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = (sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) # #

#color (λευκό) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / (2) (5-sqrt5) (5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (λευκό) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 *

(1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5)

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Συγκρίνοντας αυτές τις τρεις τιμές # g (x) #, το βλέπουμε αυτό #g (1-sqrt 5) # είναι το μικρότερο. Έτσι # - (1 + sqrt 5) / 8 # είναι η ελάχιστη τιμή μας για # g (x) # επί #'-'2, 2#.