Πώς μπορείτε να λύσετε 1 + sinx = 2cos ^ 2x στο διάστημα 0 <= x <= 2pi?

Απάντηση:

Βασίζεται σε δύο διαφορετικά περιπτώσεις: # x = pi / 6, (5pi) / 6 ή (3pi) / 2 #

Δείτε παρακάτω την εξήγηση αυτών των δύο περιπτώσεις.

Εξήγηση:

Από, # cos ^ x + sin ^ 2 x = 1 #

έχουμε: # cos ^ 2 x = 1 - sin ^ 2 x #

Έτσι μπορούμε να αντικαταστήσουμε # cos ^ 2 x # στην εξίσωση # 1 + sinx = 2cos ^ 2x # με # (1-sin ^ 2χ) #

# => 2 (1 - sin ^ 2 x) = sin x + 1 #

ή, # 2 - 2 sin ^ 2 x = sin x + 1 #

ή, # 0 = 2sin ^ 2x + sin x + 1 - 2 #

ή, # 2 με ^ 2 x + sin x - 1 = 0 #

χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τύπο:

# x = (-b + -sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) # για την τετραγωνική εξίσωση # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

έχουμε:

#sin x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2 - 4 * 2 * (- 1))) / (2 * 2)

ή, #sin x = (-1 + -sqrt (1 + 8)) / 4 #

ή, #sin x = (-1 + -sqrt (9)) / 4 #

ή, #sin x = (-1 + -3) / 4 #

ή, #sin x = (-1 + 3) / 4, (-1-3) / 4 #

ή, #sin x = 1/2, -1 #

Περίπτωση Ι:

#sin x = 1/2 #

για την κατάσταση: # 0 <= x <= 2pi #

έχουμε:

# x = pi / 6 ή (5pi) / 6 # για να πάρει θετική αξία # sinx #

Περίπτωση ΙΙ:

#sin x = -1 #

έχουμε:

# x = (3pi) / 2 # για να πάρετε αρνητική τιμή # sinx #