Απλοποιήστε πλήρως: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

Θυμηθείτε αυτό

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

Ετσι

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Επομένως η έκφρασή μας είναι ισοδύναμη με #cos (40) #.

Ας ελπίσουμε ότι αυτό βοηθά!

Απάντηση:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

Εξήγηση:

"Εντελώς" είναι ένας ασαφής στόχος στο trig, όπως θα δούμε.

Πρώτον, το σημείο αυτού του προβλήματος είναι να αναγνωρίσουμε την ομώνυμη μορφή του τύπου συντεταγμένου διπλού γωνιού:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos θήτα cos θήτα - αμαρτία theta αμαρτία theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1 - sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Γράφοντας αυτό για # theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ cir)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

Πιθανώς #cos 40 ^ circ # είναι το αποτέλεσμα "απλοποιημένο εντελώς".

Αυτή είναι η απάντηση. Ο Monzur προτείνει να δώσω μια προειδοποίηση πριν από το επόμενο μέρος. Είναι εντελώς προαιρετικό. συνεχίστε να διαβάζετε αν θέλετε να μάθετε περισσότερα #cos 40 ^ circ # και να σταματήσετε να διαβάζετε αν δεν το κάνετε.

#cos 40 ^ circ # είναι απλοποιημένη εντελώς, επειδή δεν υπάρχει πραγματικά καλύτερη έκφραση που μπορούμε να γράψουμε κάτω από αυτό #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # δεν μπορεί να κατασκευαστεί με straightedge και πυξίδα. Αυτό σημαίνει ότι οι λειτουργίες trig δεν είναι αποτέλεσμα ακεραίων που αποτελούνται από προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση και τετραγωνικές ρίζες.

#cos 40 ^ circ # είναι στην πραγματικότητα η ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. # theta = 40 ^ circ # ικανοποιεί την εξίσωση #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. Αν # x = cos theta, # αυτό είναι # Τ_ {44} (χ) = -Τ_ {46} (χ), # όπου το # T #s είναι τα πολυώνυμα Chebyshev του πρώτου είδους. Αντί για τους τύπους διπλής και τριπλής γωνίας, είναι οι τύποι γωνίας 44 και 46 φορές.

Έτσι #cos (40 ^ circ) # είναι μία από τις σαράντα έξι ρίζες:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ + 155848 χ ^ 4 - 968 χ ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)

Αυτό δεν είναι καθόλου απλό.