Πώς αξιολογώ το cos (pi / 5) χωρίς να χρησιμοποιήσω μια αριθμομηχανή;

Απάντηση:

Cos (#πι# / 5) = cos 36 ° = (# sqrt #5 + 1)/4.

Εξήγηση:

Αν #θήτα# = #πι#/ 10, στη συνέχεια 5#θήτα# = #πι#/2 #=># cos3#θήτα# = sin2#θήτα#. cos (#πι# /2 - #άλφα#) = αμαρτία#άλφα#}.

#=># 4# cos ^ 3 # #θήτα# - 3cos#θήτα# = 2sin#θήτα#cos#θήτα##=># 4 # cos ^ 2 ##θήτα# - 3 = 2 sin #θήτα#.

#=># 4 (1 - # sin ^ 2 # #θήτα#) - 3 = 2 sin#θήτα#. #=># 4# sin ^ 2 # #θήτα#+ 2sin#θήτα# - 1 = 0#=>#

αμαρτία#θήτα# =(# sqrt # 5 - 1) /4.

Τώρα cos 2#θήτα# = cos #πι#/5 = 1 - 2# sin ^ 2 # #θήτα#, δίνει το αποτέλεσμα.

Απάντηση:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) + 1) / 4 #.

Εξήγηση:

Αφήνω # a = cos (pi / 5) #, # b = cos (2 * pi / 5) #. Ετσι #cos (4 * pi / 5) = -α #. Από τους τύπους διπλής γωνίας:

# b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

Αφαίρεση, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b)

# a + b # δεν είναι μηδέν, καθώς και οι δύο όροι είναι θετικοί, έτσι # a-b # πρέπει να είναι #1/2#. Επειτα

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

και η μόνη θετική ρίζα είναι

# a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) + 1) / 4 #.

Και # 2 = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1).