Ποιο είναι το όριο του ((1 / x) - ((1) / (e ^ (x) -1)) όταν το x προσεγγίζει 0 ^ +?

Απάντηση:

(1) / (e ^ x-1) = 1/2 #

Αφήνω:

# f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) #

(x) = / (x (e ^ x-1)) #

# "" = (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x)

Τότε αναζητούμε:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) #

(x) x (x) x (x) = x (x)

Επειδή πρόκειται για μια απροσδιόριστη μορφή #0/0# μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα της L'Hôpital.

(D / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ x-x)

(x) = (xe ^ x + e ^ x-1) ##

Και πάλι, αυτό είναι απροσδιόριστης μορφής #0/0# μπορούμε να εφαρμόσουμε ξανά τον κανόνα του L'Hôpital:

(D / dx (xe ^ x + e ^ x - 1)) # L = lim_ (x rarr 0 ^ +)

(xr ^ x + e ^ x + e ^ x) # #

# = (e ^ 0) / (0 + e ^ 0 + e ^ 0) #

# = 1/2 #