Πώς βρίσκετε το άθροισμα των άπειρων γεωμετρικών σειρών 10 (2/3) ^ n όταν n = 2;

Απάντηση:

Η απάντηση είναι είτε #40/9# ή #40/3# ανάλογα με το τι εννοούσε η ερώτηση.

Εξήγηση:

Λοιπόν αν # n = 2 # τότε δεν υπάρχει ένα ποσό, η απάντηση είναι ακριβώς:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Αλλά ίσως το ερώτημα ήταν να ζητήσει να ληφθεί το απεριόριστο ποσό αρχίζοντας από # n = 2 # έτσι ώστε η εξίσωση είναι:

#sum_ (n = 2) ^ infty10 (2/3) ^ n #

Σε αυτή την περίπτωση, θα το υπολογίσαμε καταγράφοντας πρώτα ότι οποιαδήποτε γεωμετρική σειρά μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι της μορφής:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

Σε αυτή την περίπτωση, η σειρά μας έχει # a = 10 # και # r = 2/3 #.

Θα σημειώσουμε επίσης ότι:

(n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Έτσι μπορούμε απλά να υπολογίσουμε το άθροισμα μιας γεωμετρικής σειράς # (2/3) ^ n # και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε το ποσό με #10# για να φτάσουμε στο αποτέλεσμα μας. Αυτό κάνει τα πράγματα ευκολότερα.

Έχουμε επίσης την εξίσωση:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Αυτό μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα της σειράς ξεκινώντας από # n = 0 #. Αλλά θέλουμε να το υπολογίσουμε # n = 2 #. Για να γίνει αυτό, απλά θα αφαιρέσουμε το # n = 0 # και # n = 1 # από το πλήρες ποσό. Γράφοντας τους πρώτους πολλούς όρους του συνόλου μπορούμε να δούμε ότι μοιάζει με:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι:

(n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#