Έστω A (x_a, y_a) και B (x_b, y_b) είναι δύο σημεία στο επίπεδο και αφήνουμε το P (x, y) να είναι το σημείο που διαιρεί τη ράβδο (ΑΒ) στην αναλογία k: 1, όπου k> 0. Δείξτε ότι x = (x_a + kx_b) / (1 + k) και y = (y_a + ky_b) / (1 + k);

Απάντηση:

Δείτε την απόδειξη παρακάτω

Εξήγηση:

Ας αρχίσουμε με τον υπολογισμό #vec (AB) # και #vec (AP) #

Αρχίζουμε με το #Χ#

# vc (AP) / vec (AP) = (k + 1) / k #

# (x_b-x_a) / (x-x_a) = (k + 1) / k #

Πολλαπλασιασμός και αναδιάταξη

# (x_b-x_a) (k) = (x-x_a) (k + 1) #

Επίλυση για #Χ#

# (k + 1) = kx_b-kx_a + kx_a + x_a #

# (k + 1) = x_a + kx_b #

# x = (x_a + kx_b) / (κ + 1) #

Ομοίως, με το # y #

# (y_b-y_a) / (γ-γ_α) = (k + 1) / k #

# ky_b-ky_a = γ (k + 1) - (k + 1) y_a #

# (k + 1) γ = ky_b-ky_a + ky_a + y_a #

# y = (y_a + ky_b) / (κ + 1) #

Ο Γρηγόριος σχεδίασε ένα ορθογώνιο ABCD σε ένα επίπεδο συντεταγμένων. Το σημείο Α είναι στο (0,0). Το σημείο Β είναι στο (9,0). Το σημείο C είναι στο (9, -9). Το σημείο D βρίσκεται στο (0, -9). Βρείτε το μήκος του πλευρικού CD;

Side CD = 9 μονάδες Αν αγνοήσουμε τις συντεταγμένες y (η δεύτερη τιμή σε κάθε σημείο), είναι εύκολο να πούμε ότι, αφού το δευτερεύον CD ξεκινά από το x = 9 και τελειώνει στο x = 0, η απόλυτη τιμή είναι 9: | 0 - 9 | = 9 Θυμηθείτε ότι οι λύσεις σε απόλυτες τιμές είναι πάντα θετικές Αν δεν καταλαβαίνετε γιατί συμβαίνει αυτό, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον τύπο απόστασης: P_ "1" (9, -9) και P_ "2" (0, -9 ) Στην επόμενη εξίσωση, το P_ "1" είναι C και το P_ "2" είναι D: sqrt ((x_ "2" -x_ "1") ^ 2+ (y_ "2" -y_ "1" ((- 9) ^ 2 + (-9- (-9)) sqrt

Έστω P οποιοδήποτε σημείο στην κωνική r = 12 / (3-sin x). Αφήνουμε τα F1 και F2 να είναι τα σημεία (0, 0 °) και (3, 90 °) αντίστοιχα. Δείξτε ότι PF¹ και PF² = 9;

R = 12 / {3-sin theta} Σας ζητείται να δείξουμε | PF_1 | + | PF_2 | = 9, δηλ. Το P σαρώνει μια έλλειψη με εστίες F_1 και F_2. Δείτε την απόδειξη παρακάτω. # Ας καθορίσουμε ό, τι θα υποθέσω ότι είναι ένα τυπογραφικό λάθος και να πω ότι το Ρ (r, theta) ικανοποιεί r = 12 / {3-sin theta} Το εύρος του ημιτόνου είναι pm 1 έτσι συμπεραίνουμε 4 le r le 6. 3r-r sin θήτα = 12 | PF_1 | = | Ρ - 0 | = r Σε ορθογώνιες συντεταγμένες, P = (r cos theta, r sin theta) και F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ ^ θήτα + (r sin theta - 3) ^ 3 | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2theta + r ^ 2 sin ^ 2

Ξεκινήστε με DeltaOAU, με γραμμή (OA) = a, επεκτείνετε τη ράβδο (OU) με τέτοιο τρόπο ώστε η ράβδος (UB) = b, με το B στη ράβδο (OU). Κατασκευάστε μια παράλληλη γραμμή στην μπάρα (UA) που τέμνει τη μπάρα (OA) στο C. Δείξτε ότι, bar (AC) = ab;

Βλέπε εξήγηση. Σχεδιάστε μια γραμμή UD, παράλληλη με το AC, όπως φαίνεται στην εικόνα. = UD = AC DeltaOAU και DeltaUDB είναι παρόμοια, => (UD) / (UB) = (OA) / (OU) => (UD) / b = (αποδείχθηκε)"