Πώς μπορώ να λύσω αυτή τη διαφορική εξίσωση;

Απάντηση:

= 1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)

Εξήγηση:

Αυτό είναι ένα χωριστή διαφορική εξίσωση, που απλά σημαίνει ότι είναι δυνατή η ομαδοποίηση του #Χ# όροι & # y # όροι στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης. Έτσι, αυτό θα κάνουμε πρώτα:

(e) x (y) + e ^ (- y)

= (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^

= e ^ x / (1 + e ^ (- 2χ)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Τώρα, θέλουμε να πάρουμε dy στο πλάι με τα y, και dx στο πλάι με τα x's. Θα χρειαστεί να κάνουμε μια μικρή αναδιάταξη:

# (1 + e ^ (- 2χ)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Τώρα, ενσωματώνουμε και τις δύο πλευρές:

(1 + e ^ (- 2χ)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Ας κάνουμε κάθε ολοκλήρωση με τη σειρά:

#int ((1 + e ^ (- 2χ)) / e ^ x) dx #

Πρώτον, ας χωρίσουμε αυτό σε 2 χωριστά ολοκληρώματα από τον κανόνα προσθήκης / αφαίρεσης:

= (int) (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)

Αυτά φαίνονται κάπως ενοχλητικά. Ωστόσο, μπορούμε να τους δώσουμε ένα κομμάτι makeover για να τους φανεί καλύτερο (και πολύ πιο εύκολο να λυθούν):

= = int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Και τα δύο είναι πλέον απλά # u #- ολοκληρώματα αντικατάστασης. Εάν ορίσετε #u = -x # και # -3x # αντίστοιχα, θα λάβετε την απάντηση ως εξής:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3χ) / 3 + C #

#int y / e ^ (- y) dy #

# Αν ο αρνητικός εκθέτης είναι θετικός, παίρνουμε:

#int (ye ^ y) dy #

Θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε την ενσωμάτωση με μέρη για αυτό. Ο τύπος είναι:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Θα πάμε #u = y #, και #dv = e ^ y dy #. Ο λόγος είναι ότι θέλουμε ένα εύκολο # du # για αυτή την τελική ολοκλήρωση, αλλά και επειδή # e ^ y # είναι πολύ εύκολο να ενσωματωθεί.

Ετσι:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

# v = e ^ y #

Τώρα, απλώς συνδέουμε και χτυπάμε:

= = int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Βάζοντας τα πάντα πίσω:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Απαλλαγή των αρνητικών εκθετών:

# y ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)

Και αυτή είναι μια αρκετά καλή τελική απάντηση. Αν θέλατε να το λύσετε # y #, θα μπορούσατε, και θα καταλήγατε

= 1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)

Παρατηρήστε ότι δεν έχουμε # + C # στο LHS αυτής της εξίσωσης. Ο λόγος γι 'αυτό είναι ότι ακόμα και αν το βάζαμε, θα το αφαιρέσουμε τελικά από το RHS και μια αυθαίρετη σταθερά μείον μια αυθαίρετη σταθερά εξακολουθεί να είναι (περιμένει) αυθαίρετη σταθερά. Ως εκ τούτου, για αυτά τα προβλήματα όσο έχετε εσείς # + C # σε οποιαδήποτε πλευρά της εξίσωσης, θα είναι ωραία.

Ελπίδα ότι βοήθησε:)

Πώς μπορώ να λύσω όλες τις πραγματικές τιμές του x σε αυτή την εξίσωση 2 cos² x = 3 sin x;

X = pi / 6 + 2kpi x = (5pi) / 6 + 2kpi 2cos ^ 2x = 3sinx 2 * (1-sin ^ 2x) = 3sinx 2-2sin ^ 2xsinx2sin ^ 2x + 3sinx-2 = Δ) = sqrt (25) = 5 t_1 = (- 3-5) / 4 = -2 t_2 = (3 + 5) / 4 = 1/2 sinx = 1/2 x = (5pi) / 6 + 2kpi k είναι πραγματική

Πώς μπορώ να λύσω για 0º x <360º χρησιμοποιώντας αυτή την εξίσωση 2 cos² x + 3 cos x -2 = 0;

X = pi / 3 + 2kpi x = -pi / 3 + 2kpi 2cos ^ 2x + 3cos-2 = 0 sqrt (Δ) = sqrt (25) = 5 t_1 = (3 + 5) / 4 = 1/2 cosx = 1/2 x = pi / 3 + 2kpi x = -pi / 3 + 2kpi k είναι πραγματική

Λύστε τη διαφορική εξίσωση: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y; Συζητήστε τι είδους διαφορική εξίσωση είναι αυτή και πότε μπορεί να προκύψει;

(dx) - (dx) / (dx) = -16y καλύτερα γραμμένο ως (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - (R-4), που μπορεί να λυθεί ως εξής (r-4), η οποία είναι η γραμμική ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης, έχει χαρακτηριστική εξίσωση r2 -8 r + 16 = ^ 2 = 0, r = 4 αυτό είναι μια επαναλαμβανόμενη ρίζα έτσι η γενική λύση είναι σε μορφή y = (Ax + B) e ^ (4x) αυτό είναι μη ταλαντευόμενο και υποδηλώνει κάποιο είδος εκθετικής συμπεριφοράς που πραγματικά εξαρτάται από την αξία του Α και του Β. Θα μπορούσε κανείς να υποθέσει ότι θα μπορούσε να είναι μια προσπάθεια να διαμορφωθεί πληθυσμός ή αλληλεπίδραση αρπακτικών / θηραμάτων, αλλά δεν μπορώ να πω τίπο