Οι ρίζες {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 του x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 είναι τέτοιες ώστε κάθε x_i = 1. Πώς μπορείτε να αποδείξετε ότι, αν b ^ 2-a ^ 2 = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5α. Διαφορετικά, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

Απάντηση:

Αντ 'αυτού, η απάντηση είναι = {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # και οι αντίστοιχες εξισώσεις είναι # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 και x ^ 6 + -1 = 0. #.

Εξήγηση:

Η καλή απάντηση από τον Cesereo R μου επέτρεψε να τροποποιήσω

παλαιότερη έκδοση μου, για να κάνω την απάντησή μου εντάξει.

Η μορφή # x = r e ^ (i θήτα) # θα μπορούσε να αντιπροσωπεύσει τόσο πραγματικό όσο και περίπλοκο

ρίζες. Στην περίπτωση των πραγματικών ριζών x, r = | x |., Συμφωνημένοι! Ας προχωρήσουμε.

Σε αυτή τη μορφή, με r = 1, η εξίσωση χωρίζεται σε δύο εξισώσεις, #cos 6theta + ένα cos 3theta + b = 0 # …(1)

και

# αμαρτία 6 θήτα + αμαρτία 3 theta = 0 #… (2)

Για να είστε άνετοι, επιλέξτε πρώτα (3) και χρησιμοποιήστε #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. Δίνει

#sin 3theta (2 cos 3theta + α) = 0 #, με λύσεις

#sin 3theta = 0 έως theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

και

# cos 3theta = -α / 2 έως theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- α / 2)) #, με το k όπως πριν. … (4)

Εδώ, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 προς a σε -2, 2 # … (5)

(3) μειώνει (1) σε

# 1 + -α + β = 0 # … (6)

Χρησιμοποιώντας #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) μειώνει (1) σε

# 2 (-α / 2) ^ 2-1-α ^ 2/2 + b = 0 έως b = 1 #… (7)

Τώρα, από (6), # α = + -2 #

Έτσι, οι τιμές (a, b) είναι (+ -2, 1).

Οι αντίστοιχες εξισώσεις είναι # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 και (x ^ 6 + 1) = 0 #

(4) και (6) μαζί, όταν ορίσουμε a = 0, b = - (), τότε ο αριθμός των αξιών του Cesareo (a, 1. Εύκολη επαλήθευση αυτού # (a, b) = (0, -1) #είναι μια λύση και η αντίστοιχη εξίσωση είναι # x ^ 6-1 = 0 #, με δύο πραγματικές ρίζες #+-1#. Εδώ, # 6 theta = (4k-1) pi και cos 6theta = -1 #, και έτσι, (6) γίνεται b = 1, όταν a = 0 επίσης. Είστε 100% σωστός, Cesareo. Ευχαριστώ.

Η πληρέστατη απάντηση είναι όπως καταχωρίσατε στο πλαίσιο απάντησης.

Σημείωση: Αυτή είναι μια άλλη πρόταση, ωστόσο, θα ήθελα να υπενθυμίσω και να κάνω μια δήλωση για το πώς έθεσα τις ανισότητες στην παρούσα ερώτηση, όσο το δυνατόν νωρίτερα.

Δυστυχώς, το κουράγιο μου για το θέμα αυτό είχε πάει στο κάδο σκόνης. Αν αυτή η απάντηση είναι σωστή, αλλά όχι αυτή, εγώ #μετανιώνω# για το ίδιο. Πρέπει να αλλάξω την ερώτηση για αυτήν την απάντηση. Νομίζω ότι γρήγορα, αλλά δεν πληκτρολογείτε, σε συγχρονισμό με τη σκέψη. Τα σφάλματα ενσωματώνονται εύκολα στις σκέψεις μου.

Περιμένω από τους νευροεπιστήμονες να υποστηρίξουν την εξήγησή μου για την είσοδο σφαλμάτων στη σκληρή δουλειά μας.

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

Αν το υποθέσουμε # {a, b} σε RR # έχουμε αυτό #b = pm1 #

επειδή #b = Pix_i #. Τώρα κάνει # y = x ^ 3 # έχουμε

# y ^ 2 + aypm1 = 0 # και επίλυση για # y #

# a = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # αλλά

# absy = abs (- (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1))) = 1 #

Επίλυση για #ένα# έχουμε # a = {0, -2,2} #

Η εξίσωση # x ^ 6 + ax ^ 3 + β = 0 # είναι ισοδύναμη με μία από τις δυνατότητες

# x ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

με

# a_0 = {- 2,0,2} #

# b_0 = {- 1,1} #