Ποιο είναι το αντί-παράγωγο του 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2;

Απάντηση:

(X-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Εξήγηση:

Έτσι εδώ έχουμε το ενιαίο:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Και η μορφή της τετραγωνικής αμοιβαίας φαίνεται να υποδηλώνει ότι η τριγωνομετρική υποκατάσταση θα μπορούσε να λειτουργήσει εδώ. Έτσι ολοκληρώστε πρώτα την πλατεία για να πάρετε:

# x ^ 2-2x + 2 = (χ-1) ^ 2 + 1 #

Στη συνέχεια, εφαρμόστε την αντικατάσταση # u = x-1 # για να αφαιρέσετε τη γραμμική:

# (du) / dx = 1 #

# rArr du = dx #

Έτσι, μπορούμε με ασφάλεια να αλλάξουμε τις μεταβλητές χωρίς ανεπιθύμητες παρενέργειες:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 + 1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Τώρα, αυτή είναι η ιδανική μορφή για την εκτέλεση μιας τριγωνομετρικής υποκατάστασης. # u ^ 2 + 1 # προτείνει την Πυθαγόρειο Ταυτότητα # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, γι 'αυτό εφαρμόζουμε την αντικατάσταση #u = tantheta # να απλοποιήσει τον παρονομαστή:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

# rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Έτσι το ενιαίο γίνεται:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Τώρα, χρησιμοποιούμε τον τύπο διπλής γωνίας για # cos # για να καταστήσει πιο εύκολο τον χειρισμό αυτού του αντισυμβαλλομένου:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

# hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Στη συνέχεια, το βάζουμε στο ενιαίο:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (και ανοίξτε ξανά αυτό με τον τύπο διπλής γωνίας για το #αμαρτία#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Τώρα, # x-1 = u = μαύρισμα theta #

# rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

# rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x + 2) #

#sin theta = μαύρισμα theta * cos theta #

# rArr αμαρτία theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (χ-1) / (χ ^ 2-2χ + 2) #

Τέλος, φτάνοντας στο σημείο:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

= 1 / 2arctan (x-1) + (χ-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) +