Απάντηση:
# x = arctan (-3) + 180 ^ κύκλος k ή x = -45 ^ circ + 180 ^ cirk quad # για ακέραιο αριθμό #κ.#
Εξήγηση:
Έχω εργαστεί αυτό με δύο διαφορετικούς τρόπους, αλλά νομίζω ότι αυτός ο τρίτος τρόπος είναι καλύτερος. Υπάρχουν αρκετοί τύποι διπλών γωνιών για το συνημίτονο. Ας μην μπουν στον πειρασμό από κανέναν από αυτούς. Ας αποφύγουμε και τις εξισώσεις.
#cos 2x + 2 αμαρτία 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 αμαρτία 2x = -2 #
Ο γραμμικός συνδυασμός συνημίτονου και ημιτονοειδούς είναι ένα συνημίτονο με μετατόπιση φάσης.
Αφήνω # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # και
# theta = κείμενο {Arc} κείμενο {tan} (2/1) #
Έδειξα την κύρια αντίστροφη εφαπτομένη, εδώ στο πρώτο τεταρτημόριο, γύρω # theta = 63,4 ^ circ #. Είμαστε βέβαιοι
# r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Έτσι μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας
#sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {
# cos 2x cos θήτα + αμαρτία 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = αμαρτία (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Να θυμάστε πάντα τη γενική λύση #cos x = cos a # είναι # x = a a + 360 ^ cirk quad # για ακέραιο αριθμό #κ#.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = θήτα / 2 μm (45 ^ κύκλος + θήτα / 2) + 180 ^
Λαμβάνοντας τα σημάδια ένα κάθε φορά, # x = θήτα + 45 ^ κύκλος + 180 ^ κύκλος k ή χ = -45 ^ κύκλος + 180 ^
#phi = θήτα + 45 ^ κυκλο # είναι μια σταθερά που μπορούμε να προσπαθήσουμε να πάρουμε μια καλύτερη έκφραση για:
# tan (phi) = μαύρισμα (arctan (2) + 45 ^ circ) #
= (2 ^ 1) / {1 - 2} = - 3 # (2)
Ξέρουμε # phi # βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, όχι στο συνηθισμένο εύρος της κύριας τιμής.
#phi = κείμενο {Arc} κείμενο {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Αυτό αποδεικνύεται ότι δεν έχει σημασία, διότι προσθέτουμε # 180 ^ circ k # προς το # phi # στη γενική λύση ούτως ή άλλως. Κάνοντας όλα μαζί, # x = arctan (-3) + 180 ^ κύκλος k ή x = -45 ^ circ + 180 ^ cirk k #
Δεν χρειάζεται να είμαστε σχολαστικοί σχετικά με την κύρια αξία του αρχοντικού. δεδομένου ότι προσθέτουμε # 180 ^ circ k # οποιαδήποτε τιμή θα κάνει. Θα μπορούσαμε να γράψουμε το πρώτο # x = arctan (-3) # με το # 180 ^ circ k # υπονοείται, αλλά αφήστε το εδώ.
