Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) ;

#ένα)#

Απλά πρέπει να το πάρετε # Psi ^ "*" Psi #.

() () () () () () () () (2) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) (iomega_2t) #

(1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix)

= (1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) (pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (ω2)

= (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) / L) e ^ (i (ωμέγα-2-ωμέγα2) t) + e ^

#σι)#

Η περίοδος μπορεί να βρεθεί με ελάχιστη προσπάθεια, απλά με την πρώτη γνώση των ενεργειών, οι οποίες είναι σταθερές της κίνησης.

Η ενέργεια του # phi_1 = sqrt (1 / L) αμαρτία ((pix) / L) # είναι # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2 ^ ^ 2) / (4mL ^ 2) #, και η ενέργεια του # phi_2 # είναι # 4E_1 #. Ως εκ τούτου, η συχνότητα # omega_2 # του # phi_2 # είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερη # phi_1 # (# omega_1 #).

Ως αποτέλεσμα, η περίοδος # Τ_1 = (2ρ) / (ωμέγα_1) # του # phi_1 # είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερη # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (ωμέγα_2) #, και είναι επίσης περίοδος # phi_2 #.

Η περίοδος είναι έτσι #color (μπλε) (T = (2pi) / (ωμέγα_1)) #.

#ντο)#

Θα σας αφήσω να συνδέσετε αυτό τον εαυτό σας στον εαυτό σας ως #t _ "*" = pi / 2 (E_2-E_1) #. Δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα μαζί του …

Ξέρουμε ότι # Τ = (2ρ) / (ωμέγα_1) #, και αυτό # (iEt) / ℏ = iomegat #, Έτσι

#E_n = omega_nℏ #.

Σαν άποτέλεσμα, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (ω-2-ωμέγα_1)

και

#color (μπλε) (t _ "*" / Τ) = pi / (2 (omega_2-ωμέγα_1)) cdot (omega_1) / (2pi)

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1)) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = χρώμα (μπλε) (1 / (12ℏ)) #

#ρε)#

Η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου στο # 0, L / 2 # δίνεται ως

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

1 = Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 (2pix) ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t)

1 = Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 (2pix) ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Οι δύο πρώτοι όροι είναι συμμετρικοί με το ήμισυ του εύρους και της απόδοσης #50%# Συνολικά.

Ο τρίτος όρος θα έχει μια στάσιμη πιθανότητα κατάστασης # 4 / (3ρ) #, και # cos # είναι ένας αυθαίρετος παράγοντας φάσης. Έτσι, η συνολική πιθανότητα είναι

# = χρώμα (μπλε) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#μι)#

#color (μπλε) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

(L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t)

Δεν υπάρχει καμία ασήμαντη λύση σε αυτό … Αυτό αποδεικνύεται ότι είναι:

= L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^

# = χρώμα (μπλε) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + (6pi-8) L)

#φά)#

Στο # x = L / 2 #, ο #αμαρτία# οι όροι πάνε #sin (pi / 2) = 1 # και στο #sin (pi) = 0 #, αντίστοιχα.

Από #sin (pi) = 0 #, το εξαρτώμενο από το χρόνο μέρος του # Psi ^ "*" Psi # εξαφανίζεται και διατηρείται το τμήμα που εξαρτάται από το χρόνο # 1 / L # ως πυκνότητα πιθανότητας.