Η εξίσωση x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 = 0 έχει μία θετική ρίζα. Βεβαιωθείτε με τον υπολογισμό ότι αυτή η ρίζα βρίσκεται μεταξύ 1 και 2.Μπορεί κάποιος να λύσει αυτήν την ερώτηση;

ΕΝΑ ρίζα μιας εξίσωσης είναι μια τιμή για τη μεταβλητή (στην περίπτωση αυτή #Χ#) που κάνει την εξίσωση αλήθεια. Με άλλα λόγια, εάν επρόκειτο να επιλύσουμε #Χ#, τότε η (οι) επιλυθείσα (ες) τιμή (ες) θα είναι οι ρίζες.

Συνήθως όταν μιλάμε για ρίζες, είναι με μια λειτουργία #Χ#, σαν # y = x ^ 5-3x ^ 3 + χ ^ 2-4 #, και την εύρεση των λύσεων των ριζών για το #Χ# πότε # y # είναι 0.

Αν αυτή η λειτουργία έχει μια ρίζα μεταξύ 1 και 2, στη συνέχεια σε μερικές #Χ#-τιμή μεταξύ # x = 1 # και # x = 2 #, η εξίσωση θα ισούται με 0. Αυτό σημαίνει επίσης ότι, σε κάποιο σημείο από τη μία πλευρά αυτής της ρίζας, η εξίσωση είναι θετική και σε κάποιο σημείο στην άλλη πλευρά είναι αρνητική.

Δεδομένου ότι προσπαθούμε να δείξουμε ότι υπάρχει μια ρίζα μεταξύ 1 και 2, αν μπορούμε να δείξουμε ότι η εξίσωση μεταγράφει υπογραφή μεταξύ αυτών των δύο τιμών, θα τελειώσουμε.

Τι είναι # y # πότε # x = 1 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + χ ^ 2-4 #

#color (άσπρο) y = (1) ^ 5-3 (1) ^ 3 + (1) ^ 2-4 #

#color (λευκό) y = 1-3 + 1-4 #

#color (λευκό) y = -5 #

#color (λευκό) y <0 #

Τώρα, τι είναι # y # πότε # x = 2 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + χ ^ 2-4 #

#color (λευκό) y = (2) ^ 5-3 (2) ^ 3 + (2) ^ 2-4 #

#color (λευκό) y = 32-3 (8) + 4-4 #

#color (λευκό) y = 32-24 #

#color (λευκό) y = 8 #

#color (λευκό) y> 0 #

Έχουμε δείξει αυτό # y # είναι αρνητική όταν # x = 1 #, και # y # είναι θετικό όταν # x = 2 #. Έτσι σε κάποιο σημείο μεταξύ 1 και 2, εκεί πρέπει μια τιμή για #Χ# που κάνει # y # ίσο με 0.

Μόλις χρησιμοποιήσαμε το Θεώρημα Ενδιάμεσης Αξίας ή (IVT). Εάν δεν είστε βέβαιοι τι είναι αυτό, μια σύντομη περιγραφή είναι ότι, εάν μια συνεχής λειτουργία είναι μικρότερη από #ντο# πότε # x = a # και είναι μεγαλύτερη από #ντο# πότε # x = b #, τότε σε κάποιο σημείο μεταξύ #ένα# και #σι#, η λειτουργία πρέπει να είναι ίση #ντο.#

Σημείωση:

Το IVT εφαρμόζεται μόνο σε συνεχείς λειτουργίες (ή λειτουργίες που είναι συνεχείς στο διάστημα ενδιαφέροντος). Ευτυχώς, όλα τα πολυώνυμα στο #Χ# είναι συνεχείς παντού, γι 'αυτό και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το IVT εδώ.