Ερώτηση # 35a7e

Απάντηση:

Όπως αναφέρεται στα σχόλια παρακάτω, αυτή είναι η σειρά MacLaurin για # f (x) = cos (x) #, και γνωρίζουμε ότι αυτό συγκλίνει # (- oo, oo) #. Ωστόσο, αν θέλετε να δείτε τη διαδικασία:

Εξήγηση:

Δεδομένου ότι έχουμε έναν παράγοντα στον παρονομαστή, χρησιμοποιούμε το δοκιμής αναλογίας, δεδομένου ότι αυτό καθιστά απλούστερες τις απλουστεύσεις. Ο τύπος αυτός είναι:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Εάν αυτό είναι <1, η σειρά σας συγκλίνει

Εάν αυτό είναι> 1, η σειρά σας αποκλίνει

Εάν αυτό είναι = 1, η δοκιμή σας δεν είναι καταληκτική

Ας το κάνουμε αυτό:

(2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Σημείωση: Να είστε πολύ προσεκτικοί σχετικά με τον τρόπο που συνδέεστε (k + 1). Το 2k θα μετατραπεί σε 2 (k + 1), ΔΕΝ 2k + 1.

Πολλαπλασιάστηκε με την αμοιβαιότητα του # x ^ (2k) / ((2k)!) # αντί να χωρίζουμε μόνο για να κάνουμε το έργο λίγο πιο εύκολο.

Τώρα, ας κάνουμε άλγεβρα. Λόγω της απόλυτης αξίας, οι εναλλασσόμενοι όροι μας (δηλ. # (- 1) ^ k #) θα ακυρωθούν, διότι θα έχουμε πάντα μια θετική απάντηση:

(2k + 2) / ((2k + 2))) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Μπορούμε να ακυρώσουμε τις προσφορές μας # x ^ (2k) #'μικρό:

(2k + 2)!) * ((2k)!) # ()

Τώρα πρέπει να ακυρώσουμε τους συντελεστές.

Θυμηθείτε αυτό # (2k)! (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Επίσης, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Ειδοποίηση:

# (2k)! (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * χρώμα (κόκκινο) (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 *

Όπως μπορείτε να δείτε, εμείς # (2k)! # είναι ουσιαστικά μέρος του # (2k + 2)! #. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό για να ακυρώσουμε κάθε κοινό όρο:

2k-2) * (2k-3) * … * (2k)! / (2k + 2) * (2k + 1) * ακυρώστε (χρώμα (κόκκινο) (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) # #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Αυτό φεύγει

(2k + 2) (2κ + 1))) #

Τώρα, μπορούμε να αξιολογήσουμε αυτό το όριο. Σημειώστε ότι επειδή δεν λαμβάνουμε αυτό το όριο σε σχέση με #Χ#, μπορούμε να το εξηγήσουμε:

(2k + 2) (2k + 1))) ######################################

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό το όριο = 0, το οποίο είναι μικρότερο από 1. Τώρα, αναρωτιόμαστε: υπάρχει κάποια τιμή #Χ# για την οποία το όριο αυτό θα ήταν 1; Και η απάντηση είναι όχι, αφού οτιδήποτε πολλαπλασιασμένο με 0 είναι 0.

Από τότε (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) για όλες τις τιμές του #Χ#, μπορούμε να πούμε ότι έχει ένα διάστημα σύγκλισης # (- oo, oo) #.

Ελπίδα ότι βοήθησε:)